高斯公式和斯托克斯公式课件

1、11.6 高斯公式和斯托克斯公式,二、斯托克斯公式,三、通量与散度,一、高斯公式,定理11.7,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,证明,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,同理,-高斯公式,合并以上三式得：,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,例1,解,.,故,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,例2,解,11.6 高斯公式和

2、斯托克斯公式,。,(利用柱面坐标得),11.6 高斯公式和斯托克斯公式,使用Guass公式时应注意:,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,例3,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,解,曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式,空间曲面在 面上的投影域为,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,故所求积分为,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,定理11.8设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,的侧与 的正向符合右手法则,二、 斯托克斯公式,(斯托克斯公式),在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,在包含,则有,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,证明,是有向曲面 的 正向边界曲线

3、,右手法则,如图,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,思路：,曲面积分,二重积分,曲线积分,1,2,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,1,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,同理可证：,故有结论成立.,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,便于记忆形式：,另一种形式,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,例4,解,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,例5,解,按斯托克斯

4、公式, 有,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,三、通量与散度,1. 通量:,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,上侧的磁通量 ，其中 为上半球面,例6,设磁场中磁感应强度,求其,通过,解,所求的磁通量为,设,取下侧，,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,则由高斯公式得,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,2. 散度:,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,高斯公式可写成,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,例7,求向量场,在下列各点处的散度，其中,解,则,故,11.6 高斯公式和斯托

5、克斯公式,四、环流量与旋度,1. 环流量,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,2. 旋度:,利用stokes公式, 有,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,斯托克斯公式的又一种形式,其中,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,斯托克斯公式的向量形式,其中,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,Stokes公式的物理解释:,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,例8,求向量场,的旋度及其沿闭曲线,的环流量，其中 为球面,和平面 的交线，,从 轴正向看,为逆时针方向。,解,由旋度的定义,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,向量场 沿闭曲线 的环流量为,其中 为 所围的平面区域且

6、取上侧，,投影区域为 ，于是所求的环流量为,在 面上的,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,内容小结,1. 高斯公式及其应用,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,2、斯托克斯公式,空间曲线积分与路径无关的充要条件,在 内与路径无关,在 内处处有,设 P, Q, R 在 内具有一阶连续偏导数, 则,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,3. *通量与散度,设向量场,P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,11.6 高斯公式和斯托克斯

7、公式,4.*旋度,设,梯度:,散度:,旋度:,则,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,思考与练习,？,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1), 为,1.,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,(2),11.6 高斯公式和斯托克斯公式,。,则,提示:,三式相加即得,2.,11.6 高斯公式和斯托克斯公式,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问