状态空间描述

1、状态空间法的基本概念,(1)状态能完全描述系统时域行为的一个最小变量组。,说明：,完全描述。是指当给定了该最小变量组在初始t =t0的值和tt0的输入函数u(t)，则系统在tt0的任何时刻的行为就被完全确定；,系统在tt0的状态与t0时刻以前的的状态和输入无关；,最小变量组。指一组反映系统运动特性的线性无关的变量。,上节课回顾,状态空间法的基本概念,(2)状态变量指构成系统状态的变量xi (i=1n)。,注意：状态变量并非一定是系统的输出变量，也不一定是在物理上可测量的。在实际运用时，为了便于控制系统的构成，通常选择容易测量或容易观测的量作为状态变量。,(3)状态向量设系统的状态变量为 x1(

2、t),x2(t)xn(t),则以它们为元所构成的向量称为状态向量，记为 X(t)=x1(t),x2(t)xn(t)T,(4)状态空间指以x1(t),x2(t)xn(t)为坐标轴构成的n维正交空间。,(5)状态轨线系统的X(t)可用状态空间中的一个点来表示，则状态轨线表示系统的X(t)在u(t)作用下，从X(t0)出发，在状态空间中描绘出的一条轨迹。,（6）被控过程和控制系统,量测部件,被控对象,执行部件,从动力学观点看，一个基于反馈建立起来的控制系统由被控过程和控制器两部分组成。,控制器,被控过程,ym,y1,ur,u1,u1,ur,y1,ym,x1,xn,可见，状态空间描述考虑了“输入u 状

3、态X 输出y ”这一过程，正是考虑了“状态”，因此，它揭示了问题的本质，即输入控制状态，状态决定输出。u 引起X 变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程；X 决定y 是一个变换过程，表现为变换（量测）方程，是代数方程。,被控过程由被控对象、量测部件和执行部件组成。,控制系统的状态空间表达式,状态空间表达式描述系统u(t)、X(t)、Y(t)之间关系的状态方程和输出方程总合。构成了对系统动态行为的完整描述。,式中, X(t)为n1状态向量,X(t) =x1(t), x2(t) xn(t)T； u(t)为r1输入(控制)向量,u(t) =u1(t), u2(t) ur(t)T；

4、Y(t)为m1输出向量,Y(t) =y1(t), y2(t) ym(t)T； f 为n1函数阵,f =f1(t), f2(t) fn(t)T； g 为m1 函数阵, g =g1(t), g2(t) gm(t)T.,(1) 状态空间表达式的一般形式,(2) 线性定常系统,对于单输入单输出系统,其中，b=b1,b2bn T ， c=c1,c2cn 。d=d,式中，,第二节 线性定常系统状态空 间表达式的建立,系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数，因此，一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择。,D,A,B,C,u(t),Y(t),X(t),获得状态空间表达式有三个途径：,由系统方

5、框图，根据各环节之间的连接建立。,根据物理化学机理用解析的方法进行建立；, 根据传递函数或高阶微分方程演化求得；, 由传递函数的实极点建立；,一 、按系统的物理机理建立状态空间表达式,(1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量;,(2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程;,(3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系;,(4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。,2 说明：,上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。,系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于

6、用计算机来计算。,1 步骤：,状态变量的选择不是唯一的。,按系统的物理机理建立状态空间 表达式的例子 1、R-L-C电网络系统 解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选,为系统两状态变量，则原方程可化成 写成矩阵方程：,基本思想：根据描述输入-输出关系的微分方程或传递函数 建立其状态空间描述并化成几种标准形式。,二、根据系统微分方程和传递函数建立状态空间表达式,1 输入函数中不含导数项，传递 函数中没有零点,若已知 及t0时的输入,则系统的行为就可唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)xn=y(n-1)作为状态变量, 则微分方程可表示为,y = x 1,系统的传递函数为：,微分方

7、程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：,形式1：,化为向量矩阵形式： 状态方程为: 输出方程为:,系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范型,若按下式选取如下状态变量x1=y/b0,x2=y(1)/b0xn=y(n-1)/b0, 则微分方程可表示为,形式2：,2 微分方程中包含输入函数导数项,注意：,方程中存在输入信号的导数项，有可能导致系统在状态空间中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。因此，X的选择要使状态方程的右边不出现u 的导数项。通常将输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出y 和输入u 的各阶导数的适当组合。,线性定常系统的状态空间表达式为,n

8、阶SISO控制系统的时域模型为：,可实现的条件： mn,系统的传递函数为：,当系统传递函数中m=n时，即,应用长除法有,式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数， 是严格有理真分式，其系数用综合除法得,(1-45),以三阶微分方程为例:,（1）能控规范型,引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项的微分方程，即,(1-17),U(s),z(s),Y(s),定义如下一组状态变量,(1-18),可得状态方程：,输出方程为,其向量-矩阵形式为,式中,它的状态方程与传递函数中无零点的形式2的状态方程相同，但输出方程是不相同的。根据这个差别，就可以根据传递函数分子分母多项式的系数写出系统的状

9、态空间表达式。,（2）能观测规范型 1.）选择状态变量,式中系数 是待定系数.,整理(1)式得:,令:,联立(2)式和(3)式，即可求得状态空间表达式为：,输出方程:,状态方程:,从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了,2.）求,思路:由式(1)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式，并代入原始微分方程式中 ，根据u及其各阶导数的系数相等的原则求解：,由式(1)(2)可以得到下式：,增加一个中间变量：,令,由式(5)和式(4)可求得：,(6),将式(4)和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：,为便于记忆，将上式写成：,按能控规范型的

10、状态和输出方程：,按能观测规范型：,状态方程和输出方程如下：,三. 约当标准型(根据传递函数实数 极点建立状态空间描述),不失一般性，讨论此系统：,也有一个q重极点：,分析：,既有互异极点：,实现方法： 整理得,（1）对于互异极点部分：,令,拉氏反变换可得：,系数 为待定系数，其中 ，采用留数定理计算：,（2）对于重极点部分：,令,则：,联立上两式得：,拉氏反变换可得：,联立(1)、(2)、(4)可得：,由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：,约当块,对角线阵,xn,xq+1,x11,x12,x1q,y(t),u(t),+,+,+,+,+,-1,-q+1,-n,-1,-1,c11,c12

11、,c1q,cq+1,cn,约当标准型状态结构图,例已知系统的G(s)=1/(s3+6s2+11s+6),试求状态式。 解:,1,1/2,1,1/2,2,3,u,x3,x2,x1,y,由此得状态空间表达式为,约当块,对角线阵,四 离散时间系统的状态空间描述,完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息； 局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分离散化； 为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。,由差分方程

12、或脉冲传递函数建立动态方程,经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为：,式中 表示 时刻， 为采样周期； 为 时刻的输出量， 为时刻 的输入量； 是与系统特性有关的常系数。,(1),对式(1)进行 变换，整理为,称为脉冲传递函数。显见式(2)与前面的式子在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的。例如，引入中间变量 ，则有,(2),(3),初始条件为零时，离散函数的变换关系为:,定义如下一组状态变量：,于是,(4),(5),(6),利用 反变换关系

13、,由式(4)式(6)可得动态方程,(8),(7),其矢量-矩阵形式为,简记为,式中 为友矩阵， ， 是可控标准形。由上式可见，离散系统状态方程描述了 时刻的状态与 时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了 时刻的输出量与 时刻的状态、输入量之间的关系。,例 离散系统的差分方程为,试写出该离散系统的一个状态空间描述 。 解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数 ：,于是直接写出它的一个状态空间描述为,这里,，,，,，,，,五. 由系统框图建立状态空间描述,例：系统框图如下：,关键：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换,等效变换如下：,图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如

14、上图（选择积分环节后的变量为状态变量）： 则有：,写成矩阵形式：,系统,状态空间描述的结构图绘制步骤： 画出所有积分器； 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。 根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器； 用箭头将这些元件连接起来。,六 状态变量图,系统方框图模拟结构图状态空间表达式,系统方框图模拟结构图的画图步骤:,1)根据系统方框图，在适当位置画出积分器(个数为状态变量个数)，积分器的输出表示对应的状态变量；,2）根据给定的状态方程和输出方程画出相应的加法器和比例器；,3）用箭头线表示出信号的传递关系 。,模拟结构图：仅由积分器、放大器、综合器和信号连

15、线组成的图。,根据模拟接线图中状态变量之间的连接关系列出状态空间表达式。,常用符号：,系统框图：,注:负反馈时为,注：有几个状态变量，就建几个积分器,积分器,比例器,加法器,例 画出一阶微分方程的状态结构图。,状态结构图,微分方程：,第三节 由状态空间求传递函数,传递函数矩阵的引入：,1）SISO系统，用传递函数G(s)描述，W(s)是一个元素； 2）MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵W(s) ，W(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；,已知线性定常系统,取拉氏变换,设初始条件X(0)=0,则,式中,严真性,真性,例 求由 所表述系统的W(s),解：,根据矩阵求

16、逆公式：,由传递函数矩阵公式得：,求得：,求得传递函数阵为：,一 线性定常系统的运动,1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。,齐次状态方程的解：,2）强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。,非齐次状态方程的解：,第四节 线性定常系统态方程的解,二、 零输入响应(自由运动的状态解）,仿照标量函数 的解为 x = eat x0,对A定义矩阵指数函数,结论：线性定常系统零输入响应X(t)具有如下形式,X (t)= e At X0 = (t ) X0，t0,(t )又称为系统的状态转移矩阵。,其中,拉氏变换法,状态转移矩阵的物理意义：

17、从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵,三 状态转移矩阵的计算方法,直接求解法：根据定义 拉氏反变换法 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 待定系数法： 凯利哈密顿定理,求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。,1、根据状态转移矩阵的定义求解：,对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。,2 用拉氏变换法求解：,关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。,例：用拉氏变换法求解求矩阵A的状态转移矩阵,解：,四、矩阵指数- 状态转移矩阵 (t)的性质,1)(0) = I,2) , (t)与A满足交换律

18、.,3)(t1+t2) =(t1)(t2).,4) (t) -1 =(-t) ，(t)的逆为时间的逆转,系统的状态转移具 有双向性.,7）若P为非奇异矩阵，则，,5) (t) k = (k t ).,6) 若nn矩阵A和B，满足AB=BA，则 e (a + b) t =e At e Bt,若线性定常系统的非奇次状态方程 的解存在，则解形式如下：,初始状态引起的响应，零输入响应,输入引起的响应,零状态响应,说明：与线性定常系统非齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。,五 线性定常非齐次方程的解,证：,1）先把状态方程 写成,3）对上式在 区间内进行积分，得:,2）两边

19、左乘 ，利用 的性质,（2-24）,X (k+1)=G (k)X (k)+H (k)u (k) y (k)=C (k)X (k)+D (k)u (k),其中,X(k)是X(kT)的缩略形式，T为采样周期。当为常数阵时，构成线性定常离散系统。,说明：将差分方程转换成状态空间表达式脉冲传递函数与状态空间表达式之间的互换等在形式上与连续系统一样。,D(k),单位延迟,G(k),C(k),y(k),X(k),H(k),X(k+1),u(k),一、表达形式,D(k),单位延迟,G(k),第五节 离散系统的状态空间表达式,二 线性定常系统的时间离散化,连续系统,采样器,保持器,D/A 数字计算机 A/D,

20、Y(k),u(t),X(t),Y(t),u(k),X(k),1 基本约定,1)采样方式：取以常数T为周期的等间隔采样,采样时间宽度远远小于T,分析中视=0，则 y(k) =y(t)，t = kT y(k) =0 ，t kT,2)采样周期T：基于保证离散化变量在理论上可复原的要求， T的选择要符合采样定理，即 s2m , 其中 m为连续信号幅频谱的上限频率，s2/T，实际上取T=(0.10.05)/ s 。,3)保持方式：为使离散化描述关系式和推导过程简单化,通常采用 零阶保持方式,在采样瞬时保持器输出u(t)的分量 u j(t) = u j(k)；在两个采样瞬时的区间上， u j (t)值保持前一采样瞬时的大小。,2