点线面之间的位置关系

1、点、线、面之间的位置关系【基础回顾】一、三个公理和三条推论公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。二、平行和垂直位置关系的判断方法1、两直线平行的判定：

2、（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。2、两直线垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线互相垂直；（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线；（4）如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个

3、平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（6）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。3、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；（2）面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。4、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。5、两个平面垂直的判定和性

4、质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（2）定义法：即证两个相交平面的二面角为直角；6、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。三、异面直线所成角（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。四、直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求

5、法：作出直线在平面上的射影，将直线与平面的夹角转化为平面角来求；（4）特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。六、二面角：（1）平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式，其

6、中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。七、空间距离的求法（立体几何中角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）（1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。（3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。（4）直线与平面的距离：前提是

7、直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：计算线段AB的长；计算球心角AOB的弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长。【常见题型】题型一：点共线和共面问题【例1】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1） 正方体中，.又 中，E、F为中点， . ,

8、 即D、B、F、E四点共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三点共线【例2】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则, 在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾. 故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.题型二：求

9、异面直线所成角【例1】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60.【例2】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角

10、的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90.异面直线AB、CD成90角.题型三：直线与平面平行的位置关系【例4】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC证明：设PC的中点为G，连接EG、FG. F为PD中点， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E为AB中点， GFAE， GF=AE

11、， 四边形AEGF为平行四边形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例5】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF平面BB1D1D. 证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点， OED1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， EF平面BB1D1D.ABC D E F GM O 【例6】如图，已知、分别是四面体 的棱、的中点，求证：平 面. 证明：如右图，连

12、结，交于点，连结，在中，、分别是、中点， ，为中点， 为中点，在中，、为、中点， ，又平面，平面， 平面.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例7】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1EB1B证明： ， .又 ， .则.【例8】如图，求证：.ABCD证明：连结，直线和可以确定一个平面，记为， 又， 四边形为平行四边形， .题型四：平面与平面的位置关系【例1】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，

13、求证：平面MNP平面A1BD. 证明：连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点， PNB1D1. 又B1D1BD，PNBD. 又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD. 同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ平面PBC. 证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD为平行四边形，BC/AD， MQ/BC，

14、而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC.由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离. 证：（1）连接,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ.由已知可得，

15、.由已知可得，且. , . 平面AMN平面EFDB.解：（2）过作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H，易得.由, 根据, 则 ，解得. 所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行线面平行面面平行”. 第（2）问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面ABC的距离.【例5】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕

16、，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF.证明：（1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P， PA平面PEF. EF平面PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.【例6】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 证明：为AC中点，所以. 同理可证 面BGD. 又易知EF/AC，则面BGD. 又因为面BEF，所以平面平面.【例7】如图，在正方体中，E是的中点，求证：证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，.由正方体，易得，F是BD的中点， 所以，得到是二面角的平面角.设正方体的棱长为2，则，. ，即，所以.点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关