初中数学竞赛精品标准教程及练习62：绝对值

1、初 中数学竞赛精品标准教程及练习（62）绝对值一、内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：02X00x22. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法.例如： （1）化简 解：当x=0,x=2时,=0；当x2时,=x(x2)=x22x；当0x2时，=x(x2)=x2+x.（2）解方程=6.解：当x2时，x=4.原方程的解是：x=2， x=

2、4. （3）作函数y=的图象.解：化去绝对值符号，得y=2x+2 (x2). 分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=的图象.3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如：解方程；解不等式；解不等式.解：的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和3，方程的解是x=3, x=3.的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，不等式的解集是3x3.的零点是x=2, 的几何意义是：x是数轴上到点（2）的距离大于3个单位的点所表示的数，的解集是x

3、1.（如下图）1-2 0-54. 绝对值的简单性质：绝对值是非负数；两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤.例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折作函数图象：y= y=（2） 当f（x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x223的图象，可先作y=x2+2x3自变量x0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3） 把y=的图象向上平移个单位，所得图象解析式是y=；把y=的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=.（4） 利

4、用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1. 已知方程ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.解：当x0. a1； 当x0时，原方程为x=ax+1,x=, 1a0. a1且a1，a的取值范围是a1.例2. 求函数y=2的最小、最大值.解：当x0时，y=x+6； 当0x1.例5. a取什么值时，方程 有三个整数解？解：化去绝对值符号，得=a, =1a , x2=(1a)， x=2(1a) . 当a=1时，x恰好是三个解4，2，0. 用图象解答更直观；（1）先作函数 y= 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y= 图象相交，恰好是三个交点时，y=1, 即a=1

5、.本题若改为：有四个解，则0a1；一个解，则a不存在；无解，则a0.三、练习621.方程=4的解是.2.方程=0的解是_.3.方程=3的解是_.4.方程=5的解是.5.不等式25的解集是_.6.不等式5的解集是_.7.不等式3的解集是_.8.不等式的解集是_.9.已知3-x,那么 _.10.关于x的方程=ax+2有根且只有负根，求a取值范围. 11.a取什么值时，方程无解？有解？有最多解？12.作函数y=的图象；并求在3x3中函数的最大、最小值.13.解方程.14. 作函数y=的图象.15. 选择题：.对于实数x ，不等式1x27等价于（）（A）x1或x3（B）1x3（C）5x0（D）5x1或3x9（E）6x1或3x10不等式x1+x+25的所有的实数解的集合是（）（A） (B) (C) (D) (E) （空集）练习62参考答案：1. 7，1. .2. 2. 3. 1x2. 4. 1，4. 5.2x0，5x8 6. 2x37.空集. 8.