八个著名的不等式

1、第八讲 几个著名的不等式 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。下面择要介绍一些著名的不等式1.柯西（Cauchy）不等式 定理：设则等号成立当且仅当。一般形式的证明作函数 此时，得证。向量形式的证明令 两边同时平方得：，得证。柯西不等式的应用例1.1设解：由柯西不等式可知，原不等式可化为当且仅当，故原不等式得证。例1.2设实数满足的最大值与最小值。解等号当且仅当时，成立；即；故。2琴生（Jensen）不等式凸函数的定义设f(x)

2、是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2 D和实数（0，1），有fx1+（1-）x2f(x1)+（1-）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数（又称D上的“上凸函数”）。若-f(x)是区间D上的凸函数，则称f(x)是D上的凹函数（又称D上的“下凸函数”）。 凸函数的一个判别法则：如果函数是二次可微分的，则：是上凸函数的充分必要条件是是下凸函数的充分必要条件是；定义：设是定义在数集上的函数，如果对于任意这里则称是D上的凹函数，若不等号反向，则称是D上的凸函数，等号当且仅当琴生（Jensen）不等式设是区间D上的严格的凹函数，则对任意，当且仅当，等号成立。特别地，另则有证明定理2.1 若f(x

3、)是凹函数，则下面不等式成立：其中证明 当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立现假设k=n时定理成立当k=n+1时，令这时所以所以定理对k=n+1也成立同理，对凸函数f(x)也有应用例2.1利用Jensen不等式证明.证明：设上是凸函数。如果即 当且仅当，等号成立。例2.2设内任一点，求证PAB,PBC,PCA中至少有一个小于或等于。3.排序不等式如则（顺序和） （乱序和） （逆序和）的任一排列.当且仅当或时等号成立.证明设，可见在i和j两个位置上，将同序改为反序时，和值将减少或相等。由此可采取逐步调整法，获证。其中等号成立，当且仅当或.例3.1已知不妨假设有次序即，那么由于，所以 由

4、排序不等式可知 得证.（乱序和） （倒序和）4.平均不等式设证明 设上是凸函数。如果即 当且仅当，等号成立,对于这N个数，应用得所以成立，故证毕。 5.切比雪夫不等式由则证明由排序不等式有：将以上式子相加得:同除以,可得,得证.6.赫尔德（Holder）不等式设是2n个正实数，则.证明 令那么（利用Jensen不等式）即,得证。特别地，令由Holder不等式导出柯西（Cauchy）不等式。Holder不等式还有另一种表示形式，令则柯西不等式7.幂平均不等式设是正实数，则证明在Holder不等式里，令有令即这里又.几何平均数归于r次幂平均，等号成立，当且仅当等号成立.8.闵可夫斯基（Minkow

5、ski）不等式设均为实数，则特别地，当，证明由Holder不等式可知：由上述不等式可得：其中，所以即上述不等式称为明可夫斯基不等式当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和【练习题】1设为正数且互不相等，求证.为证结论正确，只需证:而又因为所以只需证明又因为互不相等，故等号成立的条件无法满足，所以原不等式成立。2.其外接圆的半径为R，求证：证明：由三角形正弦定理得于是3.正整数n3,求证：提示：构造R+上的辅助函数，则又故只需证5. 求证：构造上的辅助函数 函数在上是否是凸函数，可看其二阶导数：所以，在上是上凸函数，在ABC中，coscoscos的极大值问题可套用上述结论： =当，即为正三角形时，乘积有最大值为类似的问题：已知AIA1+A2+A3+A4+A5 =,求cosA1cosA2cosA3cosA4cosA5的最大值。也可由Jensen不等式顺