2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题23 立体几何角的计算问题（测）（解析版）

1、专题23 立体几何角的计算问题【满分：100分 时间：90分钟】一、选择题(12*5=60分)1(2020安徽合肥一中高二期末(文)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A BC D【答案】D【解析】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，故选D.2.【上海市松江、闵行区2020届二模】如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，平面ABC的法向量为，设二面角C-AB-O的大小为，则cos= ( )A43 B53 C23 D-23【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO的一个法向量为，由空间向

2、量的结论可得cos=OCn|OC|n|=423=23.本题选择C选项.3(2019重庆一中高三月考(理)如图的虚线网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.在该几何体的直观图中，直线与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】B【解析】根据三视图还原出几何体为三棱锥，设在平面的射影为，则根据三视图可知，两两垂直，以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，所以，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B.4如图，在三棱锥C-OAB中，OAOB，OC平面OAB，OA=6，OB=OC=8，CE=14CB，D,F分别为AB,BC的中点，则异面直线DF与OE所成角的余弦值

3、为( ) A1010 B61025C3030 D3020【答案】B【解析】以OA,OB,OC为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则D3,4,0，F0,4,4，E0,2,6，DF=-3,0,4，OE=0,2,6，cos=DFOEDFOE=245210=61025，异面直线DF与OE所成角的余弦值为61025.故选B.5(2020河南高一期末)如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN与BM所成角为( )A30B45C60D90【答案】C【解析】把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE和CN平行且相等，故异面直线CN与BM所成的角就是BE和BM所成的角，故EBM (或其补角)为所求,

4、再由BEM是等边三角形，可得EBM=60,故选：C6(2019河北高二期末(理)如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，SA，AB=2，BC.若E，F是SC的三等分点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A BC D【答案】B【解析】以中轴，过与平面垂直的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，因为SA底面ABC，所以与轴平行，则，.故选：B7如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M是线段A1C1上的动点，则下列结论不正确的是( ) A三棱锥M-ABD的正视图面积是定值B异面直线CM,AB所成的角可为3C三棱锥M-ABC1的体积大小与点M在线段A1C1的位置有关D直线BM

5、与平面ABCD所成的角可为3【答案】D【解析】对于A，正视图三角形的底边为CD的长，高为正方体的高，故棱锥正视图的面积不变，故正确，排除A；对于B，分别以AB,AD,AA1为坐标轴，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，Ma,a,1,B1,0,0,A0,0,0,C1,1,0，CM=a-1,a-1,1,AB=1,0,0，cos=a-12a-12+1=12，解得a=1-22，异面直线CM,AB所成的角可为3，故正确，排除B；对于C，三棱锥M-ABC1的底面积一定，高大小与点M在线段A1C1的位置有关，所以体积的大小与点M在线段A1C1的位置有关，故正确，排除C，故选D.8【广东省东莞市2

6、019年全国卷考前冲刺】如图，圆锥的底面直径AB=2，高OC=2，D为底面圆周上的一点，AOD=1200，则空间中两条直线AD与BC所成的角为( )A 300 B 600 C 750 D900【答案】B【解析】取AB中点E，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为圆锥的底面直径AB=2，高OC=2，D为底面圆周上的一点，AOD=1200，所以可得A(0,-1,0),B(0,1,0),C(0,0,2),D(32,12,0)，则AD=(32,32,0),BC=(0,-1,2)，设空间两条直线AD与BC所成的角为，所以cos=ADBCADBC=3233=12

7、,所以=600，即直线AD与BC所成的角为600，故选B. 9、已知二面角为为垂足，,则异面直线与所成角的余弦值为( )A B C D【答案】B【解析】如图所示，过点作，使，垂足为，过点作，过点作，连接，因为，所以，因为，又，所以，所以，在中，设，则，在中，则，在中，则，所以异面直线与所成的角，即是,所以10(2020河南高三月考(理)已知四边形为等腰梯形，将沿折起，使到的位置，当时，异面直线与直线所成角的正切值为( )ABCD【答案】C【解析】因为四边形为等腰梯形，.过作，则，由余弦定理可得，解得则，记的中点为，则，.翻折后，.设二面角的大小为，因为，由，两边平方得，得，则二面角的大小为.从

8、点向平面作垂线，垂足为，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设直线与直线所成角为则，.11(2019北京高二期末)在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为线段AC的中点，点E在线段A1C1上，则直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是()A BC D【答案】B【解析】设正方体的边长为，以、分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设，则，设平面A1BC1 的一个法向量为，则，可得 ，令，则，所以，设直线OE与平面A1BC1所成角为，则，当时，取最大值为，当或时，取最小值为，故直线OE与平面A1BC1所成角的正弦值的取值范围是.故选：B12(2019浙江高二期末)正

9、方形沿对角线折成直二面角，下列结论：与所成的角为：与所成的角为：与面所成角的正弦值为：二面角的平面角正切值是：其中正确结论的个数为( )A4B3C2D1【答案】A【解析】取中点O，连结，正方形沿对角线折成直二面角，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，异面直线与所成的角为，故正确：，故正确：设平面的一个法向量为，由，取，得，设与面所成角为，则，故正确：平面的法向量，设平面的法向量，则，取，得，.二面角的平面角正切值是：，故正确.故选：A二、填空题(4*5=20分)13【吉林省高中2019届高三上期末】在空间直角坐标系O-xyz中，A(1,2,-1)，B(0,1,2)，

10、C(1,1,1)，则异面直线OA与BC所成角的余弦值为_【答案】33【解析】因为A(1,2,-1)，B(0,1,2)，C(1,1,1)，所以OA= (1,2,-1)，BC=1,0.-1，异面直线OA与BC所成角的余弦值为.cos=OABC|OA|BC|=1+162=33，故答案为33.14(2019天津南开中学高二期中(理)如图，已知正方体中，M为棱的中点，则直线和平面所成角的正弦为_.【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为，则，所以，设面的法向量为，所以，取，得，设直线和平面所成的角为，所以，所以直线和平面所成角的正弦值为.15如图，在正方体

11、ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AD, DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成二面角的正弦值为_.【答案】223【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则E(1,0,0)，F(0,0,1)， B(2,2,0)，C1(0,2,2)，EF=(-1,0,1),EB=(1,2,0),设平面EFC1B的法向量n=(x,y,z)，则nEF=-x+z=0nEB=x+2y=0，取x=2，得n=(2,-1,2) ，平面BCC1的法向量m=(0,1,0)，设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为，则cos=

12、|nm|n|m|=13，所以sin=223，故填223.16【江西省南康中学2019届高三月考】将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120的二面角，已知直角边AB=3,AC=6，那么下面说法正确的是_(1) 平面ABC平面ACD (2)四面体D-ABC的体积是6(3)二面角A-BC-D的正切值是423 (4)BC与平面ACD所成角的正弦值是2114【答案】(3)(4)【解析】画出图像如下图所示，由图可知(1)的判断显然错误.由于ADCD,ADBD，故BDC是二面角C-AD-B的平面角且AD平面BCD，故BDC=60.过B作BECD交CD的延长线于E，由于ADBE，故BE是三棱锥B-ACD的高

13、.在原图中，BC=3+6=3，AD=ABACBC=363=2,BD=3-2=1,CD=6-2=2,BE=BDsin60=132=32，所以VD-ABC=VB-ACD=1312ADCDBE=162232=66，故(2)错误.以D为坐标原点，DA,DC,Dz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.A2,0,0,B0,-12,32,C0,2,0,AB=-2,-12,32,AC=-2,2,0，设平面ABC的法向量为n=x,y,z，则nAB=-2x-12y+32z=0nAC=-2x+2y=0，令x=2，则y=2,z=563,即n=2,2,563.平面BCD的法向量是DA=2,0,0.设二面角A-BC-D的

14、平面角为，由图可知为锐角，故cos=nDAnDA=317，则其正切值为143=423.故(3)判断正确.平面ACD的法向量为0,0,1，BC=0,52,-32，设直线BC和平面ACD所成的角为，则sin=0,0,10,52,-320,0,10,52,-32=2114，故(4)判断正确.综上所述，正确的有(3)，(4).三、解答题题(6*12=72分)17. (2019重庆高二期末(理)如图，直三棱柱中，为的中点，点为线段上的一点. (1)若，求证: ;(2)若，异面直线与所成的角为30，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】(1)证明:取中点，连接，有，因为，所以

15、，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以.(2)设，如图以为坐标原点，分别以，为轴轴轴，建立空间直角坐标系，由 (1)可知，所以，故，对平面，所以其法向量为.又，所以直线与平面成角的正弦值.18.【福建省泉州市2019届高三质检】 如图所示，平面PAB平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，APB=90，M，N分别是CD，PB的中点.(1)求证：CN/平面PAM；(2)若直线PA与平面ABCD所成角等于60，求二面角M-AP-C的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)11133133【解

16、析】(1)取线段AP中点E，连结EN，EM，因为E，N分别是PA、PB的中点，所以EN/AB且EN=12AB，正方形ABCD中，M是CD的中点.所以CM/AB且CM=12AB，所以CM/EN且CM=EN，故四边形CNEM为平行四边形，从而CN/ME，又因为CN平面PAM，ME平面PAM，所以CN/平面PAM.(2)过P作POAB于O，因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PO平面PAB，所以PO平面ABCD，又PA平面ABCD=A，从而AO为直线PA在平面ABCD内的射影，故PAO为直线PA与平面ABCD所成角，所以PAO=60.如图，以O为坐标原点，分别以过O点且平行于A

17、D的直线、OB，OP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,-1,0)，P(0,0,3)，M4,1,0，C4,3,0，AM=4,2,0，AP=(0,1,3)，AC=(4,4,0).设m=x1,y1,z1，n=x2,y2,z2分别为平面APM和APC的法向量，则mAM=0mAP=0，即4x1+2y1=0y1+3z1=0，令y1=23得m=(-3,23,-2)，nAC=0nAP=0，即4x2+4y2=0y2+3z2=0，令y2=3得n=(-3,3,-1)， cos=mnmn=3+6+2719=11133133，所以二面角M-AP-C的余弦值为11133133.19(201

18、9天津南开中学高二期中(理)如图，在四棱锥中，底面是一个直角梯形，其中，平面，点M和点N分别为和的中点. (1)证明：直线平面；(2)求直线和平面所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值；【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)；(4)；(5)【解析】(1)四棱锥，底面是一个直角梯形，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，所以，取，则，所以，平面，所以直线平面.（2） ，设平面的法向量，则，即，取，则，设直线与平面所成的角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.(3)设平面的法向量为，则，即，取，得，平面的法向量，设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的

19、正弦值为.20(2020安徽高三期末(理)如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，为中点，.(1)求证：；(2)若与平面所成的角为，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)四边形为矩形，则，平面平面，平面平面，平面，所以面，平面，又，为中点，平面，平面，故；(2)不妨设，由得，由(1)得，由(1)得平面，由(1)知，在平面的射影为，即，故.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，易得、，,，设平面与平面的法向量分别为和，则，由，令，则，设二面角的大小为，则，所以二面角的大小21 【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，平面四边形ABCD中，

20、CD=4,AB=AD=2,BAD=60,BCD=30，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，平面PBD平面BCD，E为PD中点.()求证：PDCE；()求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.【答案】()详见解析()255 【解析】()由题意ABD为等边三角形，则BD=2，在三角形BCD中，CD=4,BCD=30，由余弦定理可求得BC=23，CD2=BD2+BC2，即BCBD又平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCD=BD，BC平面BCDBC平面PBD BCPD ，等边三角形PBD中，E为PD中点，则BEPD，且BCBE=B，PD平面BCE，PDCE ()以B为坐标原点，BC,BD分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则B0,0,0，C23