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1、1,第四章中值定理与导数的应用,2,第一节中值定理,罗尔(Rolle)定理:设函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且在两个端点的函数值相等，即f(a)=f(b)。则在开区间(a，b)内至少存在一点(ab)，使得：,4.1.1罗尔(Rolle)定理,3,例如：,4,几何解释:,A,B,5,证:,所以最值不能都在端点上取得，,6,7,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如：,又例如：,8,例1:,证:,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,9,例2：设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(1)=0。则在开区间(

2、0,1)内至少存在一点，使得：,证：,将要证的结论改写为：,于是可令：,则g(x)在区间0,1上满足罗尔定理，,10,4.1.2拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理:设函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，则在开区间(a，b)内至少存在一点(ab)，使得：,11,几何解释:,证：,分析:,弦AB方程为,12,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。,13,函数增量的精确公式,14,推论1:,证：,15,推论2：如果函数f(x)与g(x)在区间(a，b)内可导，且f(x)g(x)，则这两个函数在区间

3、(a，b)内至多相差一个常数。即f(x)g(x)C。,16,例3：证明,证：,17,例4：,证：设,由上式得,则f(t)在区间0,x上满足拉格朗日定理,18,考研题欣赏,求c的值。,解：由条件易知c不等于0。又,另一方面，由拉格朗日定理，有,(2001年4)已知函数f(x)在可导，且,3分,19,其中,于是,4分,5分,6分,20,4.1.3柯西(Cauchy)中值定理,柯西中值定理:设函数f(x)与g(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且g/(x)0，则在开区间(a，b)内至少存在一点(ab)，使得：,证：,作辅助函数,21,当,22,例5：,证：,分析:结论可变形为:,23,(1998年3)已知函数f(x)在a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且则存在,考研题欣赏,使得,证：因为f(x)在a，b上满足拉格朗日定理，,于是存在,使得,24,使得,因为f(x)和ex在a，b上满足柯西定理，,(1)、(2)两式相乘后整理可得,于是存在,25,小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定

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