2012武汉四月调考拓展讲评 -函数零点问题【中学数学教育+数学通讯论文】

1、函数零点问题的求解策略 浙江省上虞市春晖中学 林国夫 （ 邮编： ） 随着新课程的不断展开和深入， 许多高等数 学中的概念也随之融入高中数学课程， 函数的零 点即为其中之一 函数零点由于涉及到化归、 分 类讨论、 数形结合、 函数与方程等重要的数学思 想方法， 加之与导数的应用一唱一和， 因此自然 成为命题者眼中难以割舍的命题源泉 为此笔者 结合自己的教学实践， 就解决函数零点问题的基 本策略作一探讨， 供读者参考 图象引领， 精彩纷呈 函数（）的零点（ 即函数（）的图象与 轴的交点的横坐标）生来就带有明显的几何色 彩因此用图象来勾勒函数零点的神秘面目成为 我们解决函数零点问题最常用而有效的策

2、略 单刀直入， 细摹图象 例 设函数（） （） ， 其中 ， 若函数（） 在（，） 上有且仅有两个零点， 求实数的取值范围 解 由题得 （ ） （ ） （ ） （） ， 由于 ， 则 ， 从而当 （ ，）（，） 时 （ ） ， 当 （ ，）时， （ ） ， 故函数（）的单调递增 区间为（ ，） ， （，） ， 单调递减区间为（， ） ， 极大值为（） ， 极小值为 （） （） （） ， 至此我们不难想像函 图 数（）的图象， 其可能情形如图所示， 要使函 数（）在（， ）上有且仅有两个零点， 则其 图象 只 能 为 图 所 示 的 图 象，由 此 我 们 可 得 （） （） （） ， 即 图

3、点评 单刀直入， 细摹图 象即通过导数工具， 对不加处 理的原函数直接进行函数性质 的分析， 借助性质仔细绘制其 草图， 依靠草图的走势来分析 零点的位置对于处理熟悉的 函数（ 如三次函数， 二次函数等 等）或导函数的解析式相对容 易的函数的零点问题， 利用该策略求解会显得简 洁而富有实效 一分为二， 巧化难点 例 判断函数（） 的零点个数 解 要分析函数（）的零点， 则只要分析 函数（） （ ）和（） （ ） 的图象的交点的个数即可下面我们通 过分析（）的性质来画其草图由于 （ ） ， 解得 ， 故 函数（） 在（， 上单调递增， 在，） 上单 调 递 减， 且（） ， （） ， 图 （），

4、 则在 同 一 坐 标 系 内， （）和（）的图 象如图所示， 从图 象中可以推知： （ ）当（）恰 经过点 ， （） 时， 即 时， 函 数（） 有一个零点； 年第期 中学数学教学 （ ）当 时， 函数（）没有 零点； （ ）当 ， 即 时， 函 数（）有两个零点 点评 对于很难利用导数工具来分析性质 的函 数（） ，处 理 其 零 点 问 题，我 们 常 会 将 （）分解成两个相对简单的函数， 即（） （）（） ， 借助（）和（）的图象交点来 求解（） 的零点， 克服了直接求解（） 零点带 来的技术难题 参数分离， 妙看零点 例 已知函数（） （ 且 ） 若关于的方程（ ） 有两个相 异的

5、实根， 求的取值范围 图 解 方 程 （） 即为 （ ） ， 其中 又 已知， 从而 问题转化为 在 （ ， ） 上有两个不同的实根， 即函数（） ， （ ） 的图象与直线 有两个不同的交点， 为此我们先画函数（） （ ） 的图象 由于 （ ） （） （ ） ， 令 （） ， 则 （）在（，） 单调递减， 且（）， 故当 （，）时，（） ， （ ） ； 当 （， ） 时，（） ， （ ） ， 从而（） 的单调递 增区间为（ ，） ， 单调递减区间为（， ） ， 又 （ ） ， （） ，（） ， 则 （）的图象大致如图所示 从图中可知， 要 使得函数（） （ ） 的图象与直线 有两个不同的交点，

6、 则 （，） ， 即所 求实数的取值范围为 ， （） 点评 通过将原函数中的变参量进行分离 后变形成（）（） ， 则原函数的零点问题化 归为与轴平行的直线（） 和函数（） 图 象的交点问题， 而此问题的求解在技术上并不存 在困难， 故问题迎刃而解利用该方法求解零点 问题的显著优势在于既可以回避对参数取值情 况的复杂讨论， 又形象直观， 一目了然 分门别类， 深思熟虑 例 已知函数（）（ ） （ ） ， （） （ ） ， 若对任意给定的 （， 在（ ， 上总存在两个不同的， 使得（） （） 成立， 求实数的取值范围 解 令（） ， （， ， 由于 （ ） （ ） ， 则（ ）在 （ ，）上单调递

7、增， 在（，上单调递减， 且（） ，（）， （） 故（ ）（， ， 故原问题即为： 对任意的（， ， 方程（） 在（，总有两个不同的实根，显然函数 （）在（，上不可能为单调函数， 否则方程 （）在（，上至多有一个零点 下面我们 对函数（）在（，的性质作一探究 由于 （ ）（） （ ） ， 下面对的不同取值进行讨论： （ ）当时， 函数 （ ） ， 故函数 （）在（，上为单调减函数， 不符合题意； （ ）当时， （ ），解 得 槡， 为了使函数 （ ）在（，上不单调， 则 必须使得 槡 ， 即 由此函数（）在， 槡 （ 上单调递减， 在 槡， （ 上单调递增， 考虑到 （） ， 要使得对任意的（

8、， ， 方程（） 在（ ，总有两个不同的实根， 则只需函数（） 在 槡 处的值不大于， 在 处的值 不小于， 但由于 槡 （） （）， 故只 需（） ， 即得 中学数学教学 年第期 综合上述， 满足条件的实数的取值范围为 点评 分类讨论是我们求解含参问题最常 用的策略， 对于含参的函数零点问题也不例外 若我们无法通过等价转化的思想将原问题化归 为相对容易的问题的情况下， 我们也只能根据题 设要求合理地对参数的取值进行分类， 并逐一对 每种情况进行仔细斟酌求解利用该策略求解一 般要求我们能深思熟虑， 严而不漏， 对培养我们 思维的严密性很有好处 偷梁换柱， 妙解连连 例 已知实数， 试判断函数（

9、） 的零点个数 解 由于 ， 判断（） 的零点个数， 则只需判断函数（） 的零点个数即可 由于 在上为 下凸函数， 则 的图象整体在在其 处 的切线（ 即直线（） 的上方， 则我们得不等式 由此我们有（） （ 当且仅当时取到等号） 而 对于（） ， 我们可以得 （ ） ， 事实上（） ， 则 （） 在 ， （ 上单 调递减， 在 ， ） 上单调递增， 故（） （ ） （ 当且仅当 时 取等号） 故 （）（）， 上述两个不等式 至少有一个取不到等号， 从而（） 综合上述（）在（， ）上无零点， 也即 函数（） 的零点个数为 点评 本例求解的关键策略为等价变形和 放缩替换通过这两种策略的使用， 使

10、问题多次 进行等价“ 偷换” ， 最终将原函数（）复杂的结 构（ 之所以称之为复杂， 因为我们无法直接利用 导数来分析其单调性）转化为（）相对简单的 结构， 简洁而利索， 可谓妙哉 笔者希望读者对这 两种求解策略也能有所留意 综合上述， 解决函数零点问题不仅需要我们 具备扎实的基础知识和熟练的变形技巧， 而且更 需要我们具备灵活的数学思维， 不断变换观察问 题的角度， 化难为易， 化繁为简最后笔者再列举 两例， 供读者练习和体会 练习 已知函数（） （ ）在（，） 上有两个零点， 求的取值范围 （ 参考答案： （ ， ） ） 练习 已知 ， 函数（） 在，上有零点， 求实数的取值 范围 （ 参

11、 考 答 案： ，槡 （ ， ） ） （ 收稿日期： 櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀 櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀 櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀 櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀櫀 殩 殩 殩 殩 ） 数 学 教 学 月刊： 大 开 页 主编： 赵小平 中华人民共和国教育部主管 华东师范大学主办 贯彻改革精神 反映国内外中学数学教改动态 立足上海 面向全国 注重质量 讲究实效 数学教学 创刊 周年 网址： ： ： 邮编： 电脑： 邮发代号 ， 每期定价 元， 欢迎向当地邮局订购

12、年第期 中学数学教学 3 4 数学通讯2 o o 9年第 9期( 上半月) 复习参考 活跃在高考中的函数零点的问题 李连方 ( 浙江湖州 中学 ， 3 1 3 0 0 0 ) 函数 和 方程 的理 论 是高 中新 课标 教材 中新增 的知识点 ， 从几 年高考 的命题 来看 ， 它 已成为高考命题的一个新亮点 在高中阶段 ， 函数零 点 的 问 题 可 以 和 二 次 函数 的根 的分 布、 三次函数的图象或导数 的极值等进行“ 交 汇”编制试题 ， 所以其试题综合性较强 ， 本文 就函数零点在高中数学 中的求解方法加 以 探讨 1 利用函数 图象 例 1 设定 义域为 r的 函数 )=j f

13、 2 1 ( z一2 ) ， 若 关 于 z的方程 f 。 ( z ) +a f( x ) +bp有三 个不 同 的 实 根 1 ， z 2 ， 。 ， 求 z + 3 7 ；+ z ； 的值 分析 设 t 一 ， ( ) ， 则 原方程 可化 为 t +a t +b 一 0 ， 由于 原方程有 三个 不同 的根 ， 则 函数 y= t 和 函数 y一 _厂 ( z )的图象应该 有三 个 交点 ， 则 由函数 y t 的图象 得 t = 1 ， 注意 到 ( ) 一 关 于直线 z一 2 对称 ， 则 工 厶 i 可得 到三个根 分别 为 z 一 1 ， z 。 一 2 ， 。 一 3 ，

14、所 以 z + z ； + z j一 1 4 o i 反思 在“ 数 ”中构“ 形”是数 学 问题 求 解 的重要方法 ， 也是 重要 的思维方法 由零 点 的概念 可知 ， 函数 一 厂 ( 丁 )的零 点 方 程 ， ( ) 一 0的根 臼 函数 y一 ( )的图象与 z 轴的交点的横坐标 所以函数零点问题 的求 解往往蕴涵着“ 数形结合”的数学思想方法 ， 在解决有关 函数零点的个数问题时 ， 可以借 助 函数 的图象 的生 动和直 观性来 寻找零 点的 个数， 通过“ 形”的几何特征发现“ 数”与“ 形” 之间新的关系， 从而将代数问题转化为几何 问题 例 2( 2 0 0 6 年 湖

15、北卷)关 于 的方程 ( z 一1 ) 一 一1 +k =0 ， 给出下列四个 命 题 ： 存在实数 k ， 使得方程恰有 2个不同 的实根 ； 存在实数 k ， 使得方程恰 有 4个不同 的实根 ； 存在实数 k ， 使得方程恰有 5个不同 的实根 ； 存在实数 k ， 使得方程恰有 8个不同 的实根 其中真命题的序号是 分析 据题 意 ， 可令 f z 一1 j t ( t 0 ) 则 方程化 为 一 t + k一 0 作出函数 y f 。 一1 i 的图象， 结合函 数 的图象可知 ： ( 1 )当 = 0或 t 1 时 ， 方程 有 2 个 不等 的根 ； ( 2 )当 0 t 1时，

16、 方程 有 4 个根； ( 3 )当 t l 时 ， 方程 有 3 个根 散 当 t ： 0时， 代人方程 ， 解得 k= 0 ， 此 时方 程 有两 个不等根 t = 0 或 t = 1 ， 故 此时原方 程有 5个根 ； 当方程 有两个不等正根时， 即 0 2 b ， 求证 ： 厶 函数 厂 ( z )在区间( o ， 2 )内至少有一个零点 分 析 由 厂 ( 1 )一一 一 得 口+ b + c= 一 ，化 简得 3 a- 4 - 2 c + 2 b一 0 厶 由于 3 口 2 c 2 6 ， 则 必有 口 0 ， 厂 ( 1 ) 0 ， 则 ( 2 ) 0 ， 故有 厂 ( 1 )

17、厂 ( 2 ) 0 ， 则 厂 ( o ) 0 ， 故 ( 0 ) ( 1 ) o ， 所以函数 厂 ( z )在区间( o ， 1 )内至少有一 个零点 因此 函数 厂 ( )在 区间 ( 0 ， 2 )内至 少有 一 个零点 反思 在“ 形”中觅 “ 数” ， 用数来研究 形 ， 体现数学的严谨性和科学性 教材 中给出 了连续 函数的零点存在性定理 ： 如果函数 y = _厂 ( z )在区间 n ， 6 上 的图象是连续不断 的一条曲线 ， 并且有 ， ( 口 ) r ( 6 ) 0 ， 即 g ( z ) 在 ( 一c x 。 ， 0 ) 和( ， +c x 。 ) 上递增 ； 当 (

18、 o ， )时， g ( z ) 0 ， 由零点存在定理和函数 的单调 性 可知 ， 函数 g ( )在 ( 3 ， )和 ( ， 4 )内各有一个根 因此所 求m 一 3 3 利用极值与单调性 例 5( 2 o o 6年福建理)已知函数 厂 ( z ) 一一 。 +8 x， g ( z) ： 6 1 n x+ 问： 是否存在 实数 m， 使得y一厂 ( 王 ) 的图象与 yg ( r ) 的 图象有且只有三个不同的交点 ? 若存在 ， 求 出 的取值范围 ； 若不存在， 说明理 由 分析 函数 y一 ， ( z )的图象与 y g ( 驯 的 图象 有 且 只有 三个 不 同的交 点 ， 即

19、方 程 h ( z )一 g ( z ) 一 厂 ( z )一 0有 且 只有三 个 根 ， 则 函数 ( z ) 的图象与 轴 的正半轴有且 只有三个不同的交点 ，由 h ( )= z 一8 x+ 6 1 n x+m( z o ) ， 得 ， ( )一 2 x-8 +旦 ： ， 当 z ( 0 ， 1 )u ( 3 ， + 。 。 ) 时 ， h ( ) 0 ， 故 h ( z )在 ( o ， 1 )和( 3 ， + 。 。 ) 上是 增 函数 ； 当 ( 1 ， 3 ) 时 ， h ( ) 0 且 h ( z ) 握 小 值= + 6 1 n 3 1 5 0， 得 7 o ， 当 z充分 大时 ， g ( ) o 所 以要 使 y g ( )与 y一 埘的图象有三个不同的 交 点 ， 必须 且只须 一 3 ” z o ) ， 方程 ( ) 一 一0 的两根 1 ， 2 满 1 足0 l z 2 求证： 当z( o ， 1 ) 时， “ 有 z z 又 厂 ( z ) 一 1 = = =( 1 ) 以 ( 2 ) + 1 1 ， 而 0 z 1 。 2 ， 所 以 ， 当 ( 0 ， x 1 )时 ， z 1 0 ， 故 厂 ( ) 一z 1 0 ， 从 而 厂 ( z ) z 1 所 以有