学科素养培优五　数列题的求解技巧.ppt

1、学科素养培优五数列题的求解技巧,数列是高中数学的主干知识板块之一,解答数列试题要熟悉数列的基础知识,还要运用大量的数学思想方法,数列试题对考查考生的数学素养具有极高的价值.下面总结解答数列试题的九大技巧.,技巧一巧用定义直接解题【例1】(2016河南省郑州一中高三三联)已知数列an和bn都是等差数列,若a2+b2=3,a4+b4=5,则a7+b7等于()(A)7(B)8(C)9(D)10,思路点拨:两个等差数列的和组成的新数列还是等差数列.,反思归纳,根据等差数列、等比数列的定义,在解题中判断新数列的类别,直接使用等差数列、等比数列的相关公式进行计算.,技巧二巧用“正负转折项法”求和的最值,(

2、A)6(B)7(C)5或6(D)6或7,解析:因为da13,所以a1=-a13,即a1+a13=2a7=0,即a7=0,所以数列an的前6项为正值,从第8项开始为负值,所以当n=6,7时Sn取得最大值.故选D.,反思归纳利用“正负转折项法”可以迅速求解等差数列前n项和的最值问题.,技巧三巧用an与Sn的关系实现转化【例3】(2016河北石家庄高三下二检)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,(nN*),则an等于()(A)2n+1(B)2n(C)2n-1(D)2n-2,思路点拨:对Sn=2an-4升级一个角标后再得一个等式,两式相减得出数列递推式后判别数列类型求得其通项公式.解析:

3、当n2时,Sn+1=2an+1-4,又由Sn=2an-4可得an+1=2an+1-2an,即an+1=2an,a1=S1=2a1-4,得a1=4.所以an=42n-1=2n+1.故选A.,反思归纳在含有an,Sn对任意正整数n恒成立的等式中,可以通过升降角标的方法再得出一个等式,通过两式相减得出数列递推式,再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题.,技巧四巧用不完全归纳找规律【例4】(2016石家庄二检)已知数列an满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列an的前n项和,则S2016的值为()(A)0(B)2(C)5(D)6,反思归纳求出数列的若干项,发现其中蕴含的规

4、律性不但有助于探索解题途径,也有助于得出正确的结论,在解客观题时可以使用不完全归纳法直接得出问题的答案.,思路点拨:计算前面的若干项,发现规律.解析:a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,a8=3,该数列是以6为周期的数列,且一个周期内6项之和为0,2016=3366,所以S2016=0.故选A.,技巧五巧用等差数列“下标等和”性质突破关键【例5】(2017山西五校高三上一联)设等差数列an的前n项和为Sn,若a10080,a1007+a10080,则满足SnSn+10的正整数为()(A)2013(B)2014(C)2015(D)2016,反思归纳巧用等差数列的前n项和公式S

5、n=an2+bn以及当m+n=p+q时am+an=ap+aq(其中m,n,p,q为正整数)可以简捷地解决与等差数列前n项和相关的问题.,技巧六巧用裂项实现求和,技巧七巧用分组妙求和【例7】已知函数f(n)=n2cos(n),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100=.,思路点拨:先根据an=f(n)+f(n+1)对求和式进行分组,再根据f(n)=n2cos(n)进行分组求和,最后求得结果.,答案:-100,反思归纳分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现,其基本特点是把求和目标分成若干部分,先求出部分和,再整合部分和的结果得出整体和.,【例8】已知数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,nN*,且a1,a2+5,a3成等差数列,an=.,思路点拨:先求出a1,a2,再通过升降角标的方法得出数列的递推式,变换递推式得出辅助数列,求出辅助数列的通项公式,进而求得数列an的通项公式.,技巧八巧用辅助数列求通项,答案:3n-2n,反思归纳已知数列的递推式求数列的通项公式时,基本思想就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列),求出辅助数列的通项,再通过变换求出原数列的通项公式.,技巧九巧用特值验算保准确,思路点拨:使用“错位相减法”求和.,反思归纳使用“错位相减法”求和的