第1章--时域离散信号和系统--1.4.ppt

1、1.4时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程,1.数学模型模拟系统：用微分方程描述时域离散系统：用差分方程描述连续时间LTI系统：用线性常系数微分方程描述离散时间LTI系统：用线性常系数差分方程描述（简称差分方程）,1.4.1线性常系数差分方程一个N阶、线性、常系数差分方程用下式表示：,(1.4.1),(1.4.2),或者,阶数：y(n)中的i序号的最大值与最小值之差。此处：阶数=N-0=N(NM),i=0,j,j,j,线性:y(n-i)、x(n-i)均为一次幂且无相乘项（和线性微分方程是一样的），否则是非线性的。常系数：a1,a2,aN,b1,b2,bM都是常数(若系数中含有n，则称

2、为变系数)用途：（1）从差分方程直接得到系统结构；（2）求解系统的瞬态响应。例,差分方程用途(1)：由一阶差分方程画网络结构。例1：已知y（n）=ay（n-1）+x（n），由此得到它的网络结构（第五章）如图,1.4.2线性常系数差分方程的求解方法三种基本求解法：经典解法：麻烦很少用（类似模拟系统中的微分方程求解）离散时域求解法：简单（适合计算机求近似解）变换域方法：简单而有效（类似模拟系统中的拉氏变换LS）（Z域）离散时域求解：两种常用方法1.卷积计算法：用于系统初始状态为零时的求解2.递推法：简单（需要初始条件但不一定为零）,差分方程用途（2）在给定输入序列x（n）和给定初始条件下，用递推的

3、方法求系统瞬态解。例1.4.1设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)求输出序列y(n)=?解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。(1)设初始条件y(-1)=0,y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=an=2时，y(2)=ay(1)+(2)=a2n=n时，y(n)=an归纳得：y(n)=anu(n)通式问题：u(n)的作用?递推方向？,(2)设初始条件y(-1)=1n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)

4、an=2时，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2n=n时，y(n)=(1+a)an归纳得：y(n)=(1+a)anu(n)问题：u(n)的作用?递推方向？,结论：对同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同得到的输出信号是不相同的。2.一个差分方程不一定代表因果系统，初始条件不同，则可能得到非因果系统。3.一个差分方程不一定代表LTI系统，初始条件不同，则可能得到时变系统。,例1.4.2设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中x(n)=(n),y(n)=0,n0，求输出序列y(n)。解：y(n-1)=a-1(y(n)-(n)n=1：y(0)=a-1(y(1)-(1)=

5、0n=0：y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1n=-1：y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2n=-|n|y(n-1)=-an-1通式将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1)?非因果序列P20,例1.4.3设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1，试分析该系统是否是线性非时变系统。解设x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)，x3(n)=(n)+(n-1)(1)x1(n)=(n)，y1(-1)=1y1(n)=ay1(n-1)+(n)和例1.4.1(2)相同，输出如下：y1(n)=(1+a)anu(n),(2)x2(n

6、)=(n-1)，y2(-1)=1y2(n)=ay2(n-1)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时，n=n时，y2(0)=ay2(-1)+(-1)=ay2(1)=ay2(0)+(0)=1+a2y2(2)=ay2(1)+(1)=(1+a2)ay2(n)=(1+a2)an-1y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+a(n),(3)x3(n)=(n)+(n-1);y3(-1)=1y3(n)=ay3(n-1)+(n)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时，n=n时，y3(0)=ay3(-1)+(0)+(-1)=1+ay3(1)=ay3(0)+(1)+(0)=1+a+a2y3(2)=ay3(1)+(2)+(1)=(1+a+a2)ay3(n)=(1+a+a2)an-1y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)(n),由情况(1)和情况(2)，得到y1(n)=T(n)y2