河北省承德市部分学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析）

2024-2025年度高一3月联考数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下说法中正确的是（）A.两个具有公共起点的向量，一定是共线向量B.两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小C.单位向量都是共线向量D.向量与向量的长度相等【答案】D【解析】【分析】根据向量的定义、向量模的定义、共线向量的定义逐一判断即可.【详解】共起点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的，故A错误；向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，故B错误；单位向量指的是模长为1的向量，方向有无数种情况，故C错误；向量与向量的长度相等，故D正确.故选：D.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平方的方法求得正确答案.【详解】由两边平方得，即.故选：C3.为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】根据函数图象平移的规则推导即可.【详解】由题意，所以将的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到的图象.故选：A.4.函数取得最大值时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数得，且，根据取得最大值时，得，利用诱导公式化简即可求解.【详解】根据辅助角公式，其中，可得，，则，，所以，当时，取得最大值，此时，移项可得，可得，所以，故选：A.5.已知向量，则取得最小值时值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于向量的坐标，求得向量的坐标，利用坐标求向量的模长，计算化简可得，即可求解.【详解】因为，所以，则故当时，取得最小值.故选：C.6.如图，在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等式变形得出，由已知等式结合平面向量的线性运算可得出关于的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值.【详解】因为，所以，，化简可得，因，即，可得，故.故选：C.7.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（）A.是第四象限角 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求出的值，可判断C选项；求出点的坐标，可判断A选项；根据余弦函数的单调性可判断B选项；求出的值，可判断D选项.【详解】因为，即点，由题意结合任意角的三角函数的定义可知，，则，故，即点，对于A选项，为第四象限角，A对；对于B选项，因为，且函数在上为增函数，且，所以，，B错；对于C选项，因为，C对；对于D选项，因为为第四象限角，则sinα=−1−cos2故选：B.8.点是所在平面内一点，，则的最小值为（）A.25 B.30 C.60 D.80【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，由求解.【详解】由题意建立如图所示平面直角坐标系：则，设，所以，，，当时，的最小值为30，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算结果为的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，A选项正确.B选项，，B选项错误.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项正确.故选：AD10.如图，在正六边形中，下列说法正确的是（）A. B.C. D.向量与向量是平行向量【答案】AD【解析】【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可.【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确；对于B，设正六边形每条边长为，则，故B错误；对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误；对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确.故选：AD.11.对于函数，下列说法中正确的是（）A.函数最小正周期为B.函数在上单调递增C.函数图象的一条对称轴是D.函数在上有个零点【答案】ACD【解析】【分析】利用函数周期性的定义结合图象可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；当时，解方程，可判断D选项.【详解】对于A选项，易知函数的定义域为，因为，作出函数的图象如下图所示：所以，函数的最小正周期为，A对；对于B选项，当时，，则，此时，，因为函数在上为增函数，故函数在上单调递减，B错误；对于C选项，因为，所以，函数的一条对称轴为直线，C对；对于D选项，由，解得，当时，，可得，解得，所以，函数在上有个零点，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则___________.【答案】3【解析】【分析】由，可得，即可求出，再分子分母同时除以即可求解.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：3.13.如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为__________．【答案】【解析】【详解】由题意得,所以.14.当时，曲线与的交点个数为___________.【答案】7【解析】【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】与在上的函数图象如图所示：由图象可知，两个函数图象交点的个数为7个.故答案为：7.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平方关系、和角的正弦公式求值.（2）利用平方关系、诱导公式及和角的余弦公式求值.【小问1详解】由，得，而，则，所以.【小问2详解】由，得，而，则，所以.16.如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为.（1）求；（2）若点为的中点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的运算律，结合向量的加法运算，计算求解即可；（2）建系，求得向量坐标，由向量的坐标运算即可求解.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示平面直角坐标系，可得.则.若为的中点，则，故，又由，则.17.已知向量，且与的夹角为.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可；（2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解.【小问1详解】向量，可得，且.因为与的角为，可得，解得，所以，则，所以.【小问2详解】由向量，可得，由，解得，当向量与共线时，可得，解得，所以实数的取值范围为.18.已知函数.（1）求的图象的对称中心、对称轴及的单调递增区间；（2）当时，求的最值；（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1），，（2）取得最小值；取得最大值2（3）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；（2）由于，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；（3）化简，参数分类，可得，令，则求在上的最小值，即可求得答案.【小问1详解】由题意，得，令，解得，所以函数图象的对称中心为；令，解得，所以函数图象的对称轴方程为；由，得，所以的单调通增区间为.【小问2详解】当时，，所以，.当，即时，函数取得最小值；当，即时，函数取得最大值2；【小问3详解】由题意得时，有解，而此时，即有解，只需要即可，，令，则在上单调递减，所以当时，，即，所以的取值范围是.19.设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题.（1）已知向量满足，求的值；（2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值；（3）已知向量，求的最小值.【答案】（1）2（2）7