福建省莆田市莆田二中2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测 数学试卷【含答案】

莆田二中2026届高二3月阶段性检测数学试卷一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1．曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（

）A．B．C．D．2．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．3．已知函数，则（

）A．6B．3C．D．4．用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A．24个B．26个C．30个D．42个5．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

6．若，则（

）A．B．C．D．7．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．8．若函数，且，则正实数的取值范围是（

）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数，为的导数，下列结论正确的是（

）A．在上单调递减B．存在极小值C．存在最大值D．无最小值10．若函数，则（

）A．的极大值点为2B．有且仅有2个零点C．点是的对称中心D．11．设，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．在中任取两个数分别作为的值，则满足的不同取法种数为______．13．若直线与曲线相切，则的最大值为______14．设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是______四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知函数，且当时，有极值－5．

(1)求的值；

(2)求在上的值域．已知函数（为自然对数的底数）.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.已知函数．

(1)试讨论的极值；

(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．已知函数．

(1)若在区间上单调递增，试求的取值范围；

(2)若，求证：当时，；

(3)求证：．19．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数

(1)当时，求；

(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(3)若，求的极值差比系数的取值范围.参考答案一、单选题题号12345678答案BCDCBCDC二、多选题题号91011答案ADBCDABD三、填空题12.813.e14.（e,+∞四、解答题15．(1)(2)【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可；（2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域.【详解】（1）由，得，又当时，有极值－5，所以，解得所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，有极小值．所以．（2）由（1）知．令，得，的值随的变化情况如下表：－4－134+0－0+单调递增极大值单调递减极小值－5单调递增由表可知在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为．16．(1)、(2)【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间；（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域与，且，令，得或，所以，函数的单调递减区间为、.（2）对任意的，.由于，则，令，其中，则，令，则.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，，则，因此，实数的取值范围是.17．(1)答案见解析(2)【分析】（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），，使得等价于，分别求出与，即可求解【详解】（1）函数的定义域为，．当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值．当时，由，解得，故在上单调递增．由，解得，故在上单调递减．此时函数在处取得极大值．无极小值．综上所述，当时，函数不存在极值．当时，函数在处取得极大值，无极小值．（2）由（1）知当时，在上为增函数，故无最大值，此时不符合题意；当时，．易知在上单调递减，所以．因为，，使得，所以，即解得，所以实数a的取值范围是．18．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数求出，即可得解；（2）利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）由（2）可得，，从而得到，在利用对数的运算性质及裂项相消法计算可得.【详解】（1）因为，所以，依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则，故当时，即在上单调递减；当时，即在单调递增；所以，故，解得，即的取值范围为．（2）当时，则．令，，则，所以（即）在上单调递增，所以所以在上单调递增，故．（3）由（2）知对于，有，取为有，则，，取，从而有，于是，．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19．(1)(2)不存在，理由见解析(3)【分析】（1）按照题目所给信息，验证是否满足题意即可；（2）将问题转化为验证方程在范围内是否有解；（3）由（2）可得的极值差比为，后令，结合，将问题转化为求函数值域即可.【详解】（1）当时，，所以，当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为，所以，因此是极值可差比函数．其中；（2）由题的定义域为，，即，假设是极值可差比函数，且极值差比系数为，设的极大值点为，极小值点为.则，得，由（1）分析可得，又，则.由于.由题则有：，从而，结合，得（*）.令，则，所以在上单调递增，有，因此（*）方程在时无解，即不存在使的极值差比系数为；（3）由（2）知极值差比系数为，又，则极值差比系数为.令，，则极值差比系数可化为，注意到，又，可得，令，