沪科版九年级下册章立胜编写的教案

第1课时25.1图形的旋转（1）

教学内容

1.什么叫旋转？旋转中心？旋转角？

2.什么叫旋转的对应点？

教学目标

了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些

实际问题.

通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念,

应用概念解决一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：旋转及对应点的有关概念及其应用.

2.难点与关键：从活生生的数学中抽出概念.

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下面各题.

1.将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D,作出平移后的图形.

D

B

2.如图，已知AABC和直线L,请你画出aABC关于L的对称图形4A'B'C'.

3.圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？

（口述）老师点评并总结：

（1）平移的有关概念及性质.

（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质.

（3）什么叫轴对称图形？

二、探索新知

我们前面己经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，

下面我们就来研究.

1.请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课

时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？

（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心.如果从

现在到下课时针转了度，分针转了度，秒针转了度.

2.再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动.如何转到新的位置？（老

师点评略）

3.第1、2两题有什么共同特点呢？

共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固

定点转动一定的角度.

像这样，把一个图形绕着某一点0转动一个角度的图形变换叫做旋转，点。叫做旋转中

心，转动的角叫做旋转角.

如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

下面我们来运用这些概念来解决一些问题.

例1.如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB,它绕0点按顺

时针方向旋转得到AOEF,在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

解：（1）旋转中心是0,ZAOE,/BOF等都是旋转角.

（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置.

例2.（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.

（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？

（2）请画出旋转中心和旋转角.

（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？

（老师点评）

（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到

的.（2）画图略.（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H.

最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是

不唯一的.

三、巩固练习

教材P4练习1、2.

四、应用拓展

例3.两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心

重合，不难知道重合部分的面积为,，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其

4

中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由.

分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，

只要说明SAOEE、=SAODD、，那么只要说明△OEF'^AODD*.

解：面积不变.

理由：设任转一角度，如图所示.

在RtZkODD'和RtZXOEE'中

NODD'=ZOEE,=90°

ZD0D,=NE0E'=900-ZBOE

OD=OD

.♦.△ODD'^△OEE,

SAODD=SAOEE'

S四边彩OE'BD'=S正方彩OEBD=T

4

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

1.旋转及其旋转中心、旋转角的概念.

2.旋转的对应点及其它们的应用.

六、布置作业

《基础训练》同步练习

第2课时25.1图形的旋转⑵

教学内容

1.对应点到旋转中心的距离相等.

2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

3.旋转前后的图形全等及其它们的运用.

教学目标

理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角；理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.

先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图

形的旋转的基本性质.

重难点、关键

1.重点：图形的旋转的基本性质及其应用.

2.难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）老师口问，学生口答.

1.什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？

2.什么叫旋转的对应点？

3.请独立完成下面的题目.

如图，0是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是

某条线段绕0点旋转若干次所形成的图形？

（老师点评）分析：能.看做是一条边（如线段AB）绕0点，按照

同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的.

二、探索新知

上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：

1.A、B、C、D、E、F到0点的距离是否相等？

2.对应点与旋转中心所连线段的夹角NBOC、ZCOD,/DOE、/EOF、NF0A是否相等？

3.旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、A0CD>A0DE>A0EF>△OFA全等

吗？

老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？

下面请看这个实验.

请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点0作为旋

转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC）,然

后围绕旋转中心0转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（4A'B'C'）,移去

硬纸板.

（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）

1.线段0A与0A',0B与OB',0C与0C'有什么关系？

2.NA0N,/BOB',ZCQC有什么关系？

3.AABC与AA'B'C'形状和大小有什么关系？

老师点评：1.OA=OAZ,OB=OB,,OC=OCZ,也就是对应点到旋

B'

转中心相等.

2./AOA'=/BOB'=/COC',我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线

段的夹角称为旋转角.

3.Z\ABC和AA'B'C'形状相同和大小相等,即全等.

综合以上的实验操作和刚才作的(3),得出

(1)对应点到旋转中心的距离相等；

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

(3)旋转前、后的图形全等.

例1.如图，AABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D,试确定顶点B对应点的位

置，以及旋转后的三角形.

分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是NACD,

根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即NBCB'=ACD,

又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB',就可确定B'的位置，

如图所示.

解：(1)连结CD

(2)以CB为一边作NBCE,使得NBCE=NACD

(3)在射线CE上截取CB'=CB

则B'即为所求的B的对应点.

(4)连结DB'

则aDB'C就是△ABC绕C点旋转后的图形.

例2.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=L,ZXABF是

4

△ADE的旋转图形.

(1)旋转中心是哪一点？

(2)旋转了多少度？

(3)AF的长度是多少？

(4)如果连结EF,那么4AEF是怎样的三角形？

分析：由4ABF是4ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角,要求AF的长度,

根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到.aABF与4ADE

是完全重合的，所以它是直角三角形.

解：(1)旋转中心是A点.

(2):△ABF是由4ADE旋转而成的，B是D的对应点.../DABugO。就是旋转角

•.•对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点

4

(4)VZEAF=90°(与旋转角相等)且AF=AE4EAF是等腰直角三角形.

三、巩固练习：教材P64练习1、2.

四、应用拓展

例3.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM,

使L、M在AK的同旁，连接BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与

DM的关系.

AB

分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明.

解：：四边形ABCD、四边形AKLM是正方形

，AB=AD,AK=AM,且NBAD=NKAM为旋转角且为90°

/.△ADM是以A为旋转中心，ZBAD为旋转角由AABK旋转而成的

.\BK=DM

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课应掌握：

1.对应点到旋转中心的距离相等；

2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.

六、布置作业

1.教材P7阅读与思考.

2.《基础训练》同步练习.

第3课时23.1图形的旋转（3）

教学内容

选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案.

教学目标

理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转

的知识设计出美丽的图案.

复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计

出美丽的图案.

重难点、关键

1.重点：用旋转的有关知识画图.

2.难点与关键：根据需要设计美丽图案.

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

1.（学生活动）老师口问，学生口答.

（1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？

（2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？

（3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？

2.请同学独立完成下面的作图题.

如图，^AOB绕0点旋转后，G点是B点的对应点，作出.G

△AOB旋转后的三角形.B

（老师点评）分析：要作出aAOB旋转后的三角形，应找

出三方面：第一，旋转中心：0；第二，旋转角：ZB0G；第三，L---------

AQ

A点旋转后的对应点：A，.

二、探索新知

从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋

转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来.因此，下面就选择不同的旋转中

心、不同的旋转角来进行研究.

1.旋转中心不变，改变旋转角

画出以下图所示的四边形ABCD以0点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形.

2.旋转角不变，改变旋转中心

画出以下图，四边形ABCD分别为0、0为中心，旋转角都为30°的旋转图形.

因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变

旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案.

例1.如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以0为旋转中心画出分别旋转45°、90°、

135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案.

分析：只要以0为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花A

的最长0A,按菊花叶的形状画出即可.八

解：（1）连结0A

（2）以0点为圆心，0A长为半径旋转45°,得A.

（3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270。、

315°的A、A、A、A、A、A.

（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶.H0

那么所画的图案就是绕0点旋转后的图形.'

例2.（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面

的点0'为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花八

吗？

老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一

种花了•3

三、巩固练习u

教材P7练习.

四、应用拓展

例3.如图，如何作出该图案绕0点按逆时针旋转90。的图形.

分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形

组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是

图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特

征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图

案.

解：（1）连结0A,过0点沿0A逆时针作/AOA'=90°,在射线OA'上截取OA'=OA；

（2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、II的对应点B'、C'、D'、E'、F'、

G'、H'；

（3）作出对应线段A'B'、B'C'、C'D'、D'E'、E'F'、F'A'、A'G'、G'

D，、D'H'、H;A'；

（4）所作出的图案就是所求的图案.

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；

2.作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、

角的顶点、圆的圆心等.

六、布置作业

1.教材P8To.

2.《基础训练》同步练习.

第4课25.2圆的对称性（一）

教学目标

1.使学生理解圆的定义，并能从集合的观点对圆的定义加以理解；

2.掌握点与圆的位置关系.

3.通过圆的有关性质的学习，培养学生观察、分析和归纳问题的能力.

教学重点和难点

用点的集合定义圆的有关概念是重点；使学生理解以点的集合定义圆所应具备的两个条件是

难点.

教学过程设计

一、创设情境，引入新课

1.在小学，我们己经学过一些圆的知识，并且知道，圆不仅在几何学中占有极重要的地位，

而且圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用.你能举例说明我们周围哪些物体是圆形的

吗？

在学生回答的基础上，教师总结：实际生活中，圆形物体的例子很多.比如说：车辆的轮子

是圆的，各种管道的截面是圆的，就连大多数的锅沿、碗口、盆边也都是圆的…….（教师可

出示一些实物给学生看，激发学生学习兴趣）

2.介绍本章的章头图——幅古代的马车图.（可用电脑或投影演示）

通过学习此图，说明我国劳动人民很早对圆就有了认识，并十分准确地描述了圆的定义.至

今，人们仍然把各种车辆的轮子做成圆形的.（可放一段街道上行驶的各种车辆的录像）

3.提问：人们为什么把车轮都做成圆形的呢？

在学生回答的基础上，教师指出.这是因为圆具有一些特殊的性质.在这一章我们将系统研

究：什么是圆？圆有哪些性质？（板书课题）

二、描述圆的发生过程，给出圆的定义

1.如何用圆规画出一个圆？

回忆小学学过的画圆方法，教师在黑板上画圆，学生在下边画.

2.要在操场上画一个半径为5米的大圆，如何画呢？

让学生动脑筋想办法.如可用一根长5米的绳子，固定其一个端点，拉直绳子，绕着固定的

一端旋转一周，就可画出要求的圆.

3.从实践活动中导出圆的定义.

首先，提问学生：以上两种画圆的过程，有何共同点？

答：都是在一个平面内，固定线段的一端，另一个端点随着线段旋转一周，形成一个圆.

然后，启发学生用数学语言描述出圆的定义，最后教师归纳小结什么是圆，并板书圆的定义:

在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图

形叫做圆.固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径，以点0为圆心的圆，记作。0,读作

“圆0”.

结合圆的定义，师生共同讨论以下几个问题：(先由学生回答)

(1)蓝球是圆吗？太阳是圆吗？

指出：圆必须是“在同一个平面内”.

(2)以3厘米为半径画圆，能画出几个圆？为什么？

无数个，圆心不固定.

(3)以点0为圆心画圆，能画几个圆？为什么？

无数个，半径不定.

强调：圆心是确定圆的位置的，半径是确定一个圆的大小的；一个圆的圆心是唯一的，半径

长度是确定的，二者缺一不可；圆是一条封闭的曲线，即是“圆周”而不是“圆面”.

(4)在圆的定义中，为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”？不是端点

行吗？

强调端点意在说明：圆上各点到圆心0(定点)的距离都等于线段0A的长(定长).如果不是“定

长”，就可能得到一个别的图形.

(5)反过来，平面内所有到点0的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗？

都在圆上.(可举反例说明，如图2所示的图形都不是圆)

通过(4)、(5)的讨论，师生共同总结出：

(i)圆上各点到定点(圆心0)的距离都等于定长(半径的长r).

(ii)到定点的距离等于定长的点都在圆上.

以上两点体现了“纯粹性”和“完备性”的思想，是圆的本质属性.

于是可用集合的概念给出圆的定义(根据情况情况教师可补充讲)：

圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

4.由于平面内的一个圆，把平面内所有的点分成三类，即圆上的点、圆内的点和圆外的点.引

导学生进一步观察圆内各点和圆外各点的情况（图3）,由学生类比圆的定义，用集合的思想定

义圆的内部和圆的外部：

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合；

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.

5.从圆、圆的内部和圆的外部的定义可以看出，圆上、圆内、圆外这三类点分类的条件是由

一个点到圆心的距离与半径的大小关系-一相等、小于或大于而决定的，也就是说，点和圆的

位置关系与点到圆心的距离的数量关系是相互对应的，这种对应关系启发学生自己得出：

如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则：

点在圆上Od=r；

点在圆内Od<r；

点在圆外Od>r；

三、例题分析，变式练习

例1求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.

首先引导学生搞清题目中的已知和求证，并画出图形.结合图形进一步分析：

要证A,B,C,D四点在以对角线的交点0为圆心的圆上，只须证明A,B,C,D四个点与点

0的距离相等.即证OA=OB=OC=OD.由矩形对角线的性质，很容易证得.

证明：（学生口述，教师板书）

为了证明的书写方便，可先用“因为、所以”的形式写出证明过程，然后给同

学们介结一种新的符号“n”，读作“推出

练习1求证：菱形各边的中点在同一个圆上.

（先由学生回答证明思路，后由一名学生板演，要求用“=”符号）

练习2填空：（投影打出）

已知。0的半径r=5厘米，A为线段0P的中点，当0P=6厘米时，点A在。0；当0P

=10厘米时，点A在00；当0P=14厘米时，点A在00

（学生回答，目标是使学生初步掌握点与圆的三种位置关系）

练习3设AB=3厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.

(1)和点A的距离等于2厘米的点的集合；

(2)和点B的距离等于2厘米的点的集合；

(3)和点A,B的距离都等于2厘米的点的集合；

(4)和点A,B的距离都小于2厘米的点的集合.

(此题采取边画图边解答的方式进行，师生共同完成，目标使学生初步掌握几何图形与点的集

合之间的对应关系.图5)

四、课堂小结

问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？

在学生回答的基础上，教师小结：

1.这节课主要学习了圆的两种不同的定义方法以及点与圆的二种位置关系；

2.在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可.

五、作业:略

第5课25.2圆的对称性(二)

教学目标

1.使学生理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧、弓形等与圆有关的概念;

2.使学生掌握和圆有关的概念之间的区别与联系，为进一步研究圆与其它图形的位置及数

量关系打基础.

教学重点和难点

圆的有关概念及其应用是重点；等弧概念的理解是难点.

教学过程设计

一、从学生已有的认知结构引导学生认识圆的有关概念.

1.提问：请一位学生用点的集合叙述圆的定义，并画出图形。0.(教师用投影打出图形O

0,如图1)

2.弦和直径.

利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段.指出：连结圆上任意两点的

线段叫做弦.如线段CD,AB,EF,DF都叫做00的弦.(如图2)

进一步指出：图中弦AB经过圆心0,我们把经过圆心的弦叫做直径.最后让学生观察，得

出：直径等于半径的2倍.

3.弧.

继续观察图2,发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦同时，这两个点还将

圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两臂的部分叫做圆弧，简

称弧.用符号“一”表示，如以C、D为端点的弧，记作五.

继续引导学生观察会进一步发现，直径AB的两个端点分圆成两条弧，每一条弧

我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧而、Q等，小于半圆

的弧叫做劣弧.如图中的历,宣等.

强调：为了区别优弧与劣弧，优弧用三个字母表示.

4.弓形.

用投影打出图3,告诉学生：由弦及所对的弧组成的图形叫做弓形.如图3中的（1）、（2）

都叫做弓形.

5.同心圆.

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.如图4所示.（投影打出图形）

6.等圆.

能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆.（用投影或电脑演示圆重合的

过程，图程

7.等弧.

电脑或投影演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

二、概念辨析

1.直径是弦，弦是直径.这句话正确吗？（学生口答并说明理由）

教师强调：直径是弦，但在一般情况下弦不是直径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直

径.

2.半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）

教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧

才是半圆.

3.长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）

教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧.（教师用两根长

度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破）

三、应用举例，巩固概念

例1指出图6中所有的弦和弧.（由学生口答，投影打出）

例2已知：如图7,在。0中，AB,CD为直径，求证：AD〃BC.

分析：要证AD〃BC,由图可直接想到证内错角相等.由已知条件容易证得△AODg^COB,

于是有NA=/B或NC=/D；

或者要证AD〃BC,联想到平行四边形的性质，于是连结AC和BD得二ADBC,所以结论

成立.

证明：（学生口述，教师板书.）

练习1如图8,已知AB为。。的直径，AC为弦，OD〃AC,交BC于D,AC=6厘米，求0D

的长.（学生板演）

思路：由点0为直径AB的中点和OD〃AC的条件，联想到“三角形的中位线”这一基本图

形，于是只要证得D为BC的中点，就可求出0D的长.

四、师生共同小结：

1.先由教师提出以下几个问题，由学生回答：

（1）这节课我们学习了哪些主要概念？

（2）在学习这些概念时应该注意哪些问题？

2.在学生回答的基础上，教师强调：

本节课学习了圆的有关概念.在这些概念中，要特别注意“直径和弦”、“弧和半圆”，

以及“同圆、等圆和同心圆”这些概念的区别和联系.

另外还要注意，等圆和等弧的概念，是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为

今后判断两圆或两弧相等的依据.

五、作业：略

第6课25.2圆的对称性（三）

教学目标：

1、使学生理解圆的轴对称性。

2、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。

3、激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力。

教学重点：垂径定理及其应用。

教学难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。

教学过程：

一、复习提问

1.叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？（根据学生画图的情况，教师进行修正和说明）

2.教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的,圆上两点间的部分叫做

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。

二、动手实践，发现新知

1.（教师拿出一张圆形纸片）同学们能不能找到这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举

手。C

2.（请一名学生到前面做演示，教师图示并有目标地引导，提问；）犬

问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆\/\）

②回忆一下，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分互相

重合，那么这个图形叫做,这条直线叫做D

③问答式指出：刚才的实验说明圆是，对称轴是经过圆心的每一条。

板书：一.圆的轴对称性”

说明：圆的对称轴有无数多条，圆的对称轴就是“直径所在的直线”，但不能说成是圆的直径。

三、创设情境，探索垂径定理

1.在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？（斜交，垂直）

垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？（AO=BO,CO-DO,AC=BC,AD=BD）

2.若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？

（AE=BE,弧AC=MBC,弧AD=MBD）

3.要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出猜想。

4.猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。然后让学生阅读课本61面的

证明，并回答下列问题：

①书中证明利用了圆的什么性质？

②若只证AE=BE,还有什么方法？

5.猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做

板书：“2.定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”

指出：该定理反映了圆中垂直于弦的直径的性质，故名“垂径定理”

板书：“7.3垂径定理”

6.给出定理的推理格式

CD是直径AE=BE

弧AC=MBC

CD1AE弧AE=MBD

7.辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？

C

DDD

8.垂径定理还可表达为：

一条直线①过圆心③平分弦

若满足④平分弦所对的优弧

②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧

强调两个条件缺一不可。

四、定理的应用

例1、已知：在圆0中，⑴弦AB=8,0到AB的距离等于3,求圆0的半径。

⑵若OA=10,0E=6,求弦AB的长。

小结：①辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的半径为r,圆心

到弦的距离为d,弦长为a,则r,a,d间有什么关系？根据什么？

（由学生归纳出r2=d2+（a/2）2,因此已知r,a,d中的两个量就可求出第三个量。）

变式训练：

问题1：如图1,AB是两个以0为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交

小圆交于C、D两点，求证：AC=BD

问题2：把圆中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB,如图2,是否

图1

仍有AC=BD呢？

分析：从已知的图形观察，AB是大圆的弦，若有一条直径垂直于它，

则一定平分AB且又将CD垂直平分，从而得出AC=BD,要求学生

自己写出证明过程，并指出该题就是书中的例2,然后让学生对照课

本的证明过程校对。

问题3：将图2变成图3,则有①EA=,②EC=。试证明。

分析：将图3中的小圆隐去，等式①的证明只与大圆、中圆有关，与小

圆无关。问题转化为与图2情况一样。将图3中的中圆隐去，等式②

的证明只与大圆、小圆有关，与中圆无关。问题转化为与图2情况一

样。

问题4：在圆2中连结OC,0D,将小圆隐去，得图4,设OC=OD,求证:

AC=BD

问题5：在图2中，连结OA、0B,将大圆隐，得图5,设AO=BO,求证：

AC=BD

问题6：在图5中，已知AC=BD,求证：OA=OB

指出：在圆中解有关弦的问题时，常要作一条辅助线，它是圆心到弦的

垂线段。

五、课堂小结

师生共同小结本节课所学知识点，常用辅助线方法，蕴含的数学思想。

六、作业：

课本相应的习题。

（注：此课在不借助多媒体手段的情况下，需两课时。变式训练的4,5,6都可进行一题多解,

教案中直角符号、半边大括号及少数图圆心未标记。教学时学生兴趣很高，教学效果很好。）

第7课25.2圆的对称性（四）

教学目标

1.使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念;

2.使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些

关系解决有关问题；

3.培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识

规律.

教学重点和难点

圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、

弦、弦心距之间的相等关系是难点.

教学过程设计

一、创设情景，引入新课

圆是轴对称图形.圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题.今天我们再来一起研究一

下圆还有哪些特性.

1.动态演示，发现规律

图7-47

投影出示图7—47,并动态显示：平行四边形绕对角线交点0旋转180。后.问：

(1)结果怎样？

学生答：和原来的平行四边形重合.

(2)这样的图形叫做什么图形？

学生答：中心对称图形.

投影出示图7—48,并动态显示：绕圆心0旋转180。.由学生观察后，归纳出：圆是

以圆心为对称中心的中心对称图形.

图7-48

投影继续演示如图7-49,让直径AB两个端点A,B绕圆心旋转30°,45。，90。，让

学生观察发现什么结论？

B1V/901

62^

图7-49

得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合.

进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度a,你发现什么？

学生答：仍然与原来的图形重合.

于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意一个角

度a,都能够与原来的图形重合.

2.圆心角，弦心距的概念.

我们在研究圆的旋转不变性时，。。绕圆心0旋转任意角度a后，出现一个角NAOB,请同

学们观察一下，这个角有什么特点？如图7—50.（如有条件可电脑闪动显示图形.）

在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上.

在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书.

顶点在圆心的角叫做圆心角.

再进一步观察，AB是NA0B所对的弧，连结AB,弦AB既是圆心角NAOB也是AB所对的弦.请

同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？

学生答：过圆心0作弦AB的垂线.

在学生回答的基础上，教师指出：点0到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做

弦心距.如图7—51.（教师板书定义）最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所

对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系.（引出课题）

二、大胆猜想，发现定理

在图中，再画一圆心角/A'OB',如果NA0B=NA'OB',（变化显示两角相等）再作出它们

所对的弦AB,A'B，和弦的弦心距0M,0M',请大家大胆猜想，其余三组量晶与密，弦AB

与A'B',弦心距0M与0M'的大小关系如何？

学生很容易猜出：息=宙，AB=A'B',OM=OMZ.

教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样

证明呢？

学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到黜，怎样证明弧相等呢？

让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？

学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.

请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？

学生：旋转.

下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明魂=矫.

把/AOB连同旋转，使0A与0A'重合，电脑开始显示旋转过程.教师边演示边提问.

我们发现射线0B与射线OB'也会重合，为什么？

学生：因为/A0B=NA'OB',

所以射线0B与射线OB'重合.

要证明与重合，关键在于点A与点A',点B与点B'是否分别重合.这两对点分别重合吗？

学生：重合.

你能说明理由吗？

学生：因为OA=OA',OB=OB',

所以点A与点A'重合，点B与点B'重合.

当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？

学生：@与函重合，弦AB与A'B'重合，0M与0M'重合.

为什么0M也与0M'重合呢？

学生：根据垂线的唯一性.

于是有结论：超，AB=A'B',OM=OMZ.

以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文

字叙述这个真命题.

教师板书定理.

定理：在同圆—中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

教师引导学生补全定理内容.

投影显示如图，©0与00'为等圆，ZA0B=ZA"O'B',0M与O'M'分别为AB与A'B'的弦心距,

请学生回答与.AB与A'B',0M与O'M'还相等吗？为什么？

在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆.（投

影显示叠合过程）

这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整.

然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：

条件结论

‘圆心角所对弧相等;

在同圆或等圆中

‘圆心角相等,圆心角所对寇相等；

圆心角所对弦的弦心距相等.

定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等.请同学们思考,

在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这

三个命题是真命题吗？如何证明？

在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法.

最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论.

请学生归纳，教师板书.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相

等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

三、巩固应用、变式练习

例1判断题，下列说法正确吗？为什么？

(1)如图：因为NAOB=/A'OB',所以

(2)在。0和。O'中，如果弦AB=A'B',那么@=说.

分析：(1)、(2)都是不对的.在图7—54中，因为和不在同圆或等圆中，不能用定理.对于

(2)也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明.

例2如图，点P在。。上，点0在/EPF的角平分线上，/EPF的两边交。0于点A和B.求

证：PA=PB.

让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范.

证明：作OMJ_PA,ONXPB,垂足为M,N.

ZAPO=ZBPO1

OM1PA，=OM=ON=PA=PB.

ON1PB

J

把P点当做运动的点，将例2演变如下：

变式1(投影打出)

F

图7-56

己知：如图，点。在NEPF的平分线上，。。和NEPF的两边分别交于点A,B和C,D.

求证：AB=CD.

师生共同分析之后，由学生口述证明过程.

变式2(投影打出)

已知：如图，的弦AB,CD相交于点P,ZAPO=ZCPO,

求证:AB=CD.

图7-57

由学生口述证题思路.

说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来证,

只不过前者较为简便.

练习1已知：如图，AD=BC.

求证：AB=CD.

师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演.

变式练习.已知：如图7—58,AD=BC,求证：AB=CD.

四、师生共同小结

教师提问：

(1)这节课学习了哪些具体内容？

(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的？

(3)应注意哪些问题？

在学生回答的基础上，教师总结.

(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形.得到圆的特性一一圆的

旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的

弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据.

(2)本节通过观察一一猜想一一论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同

时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想.

(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件.

五、布置作业(略)

思考题：已知AB和CD是。。的两条弦，0M和ON分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD,

那么0M和ON有什么关系？为什么？

板书设计

圆心角、荻、弦、弦心距之间的关系（一）

一、圆的旋转不变性例题一变式练习

二、定理:

三、推论:

课堂教学设计说明

这份教案为1课时.

如果内容多，部分练习题可在下节课中处理.

第8课25.2圆的对称性（五）

教学目标

1.使学生理解并掌握1°的弧的概念；

2.使学生进一步掌握同圆或等圆中圆心角，及其所对弧、所对弦、所对弦的弦心距之间的

关系，并能熟练地进行有关计算.

教学重点和难点

对1°的弧的概念的理解是重点；灵活运用本节知识进行有关证明和计算是难点.

教学过程设计

一、从学生已有的知识结构提出问题

1.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间有什么样的关系？

学生根据上节课所学知识进行口答.

2.如何证明同圆或等圆中的两条弦相等？

学生回答后，教师强调：

在同圆或等圆中证明两条弦相等，除了可以证明所在的两个三角形全等外，常用的方法是

证明它们所对的两个圆心角或两条弧或它们各自的弦心距相等.

3.我们知道线段可以用长度单位进行度量，角也可用1°做单位来度量.那么作为圆弧能

否度量呢？如果能，又怎样度量呢？度量单位又是什么呢？

提出问题让学生思考，讨论，猜想.在此基础上，告诉学生，这就是今天我们要讨论的课

题.（板书课题）

二、对比联想，学习新知

1.T的弧的概念.（投影出示图7—59）

先让学生观察图（1）,提问：圆周所对的圆心角多大？（360。）请大家想象一下，当把顶点

在圆心的圆周角等分成360份后，相应的把整个圆分成多少份？（360份）为什么？（由定理可

知）这时，每一份圆心角即1°的圆心角就对着1份弧，（出示图（2））我们把这一份的弧叫1。

的弧.（板书）

由图⑵可以看出1°的圆心角对着1°的孤，1°的孤对着1°的圆心角.同样由

学生想象，2°的圆心角对着2°的孤，2°的孤对着2°的圆心角；n°的圆心角对

着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角.(出示图(3))

最后由学生归纳出：

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

应使学生明确，这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等.即不能写成圆N

AOB=AB,这是错误的.

2.弦、弦心距之间的不等量关系.

上节课，我们曾留了一道思考题，(投影打出)同学们考虑了没有？

先由思考过的同学回答，最后由教师作具体分析.

让学生直观看图7—60,会发现：若AB>CD,则OMVON.

进一步启发学生用所学过的知识，对上述结论加以证明.

已知，如图7—60,00中，弦AB>CD,0M1AB,ON±CD,垂足分别为M,N.

求证：OM<ON.

图7-60

分析：因为0M±AB,0N±CD,所以M,N将AB,CD平分，在RtAAOM中，由勾股定理知0A2=0M2

+AM2,同样在RtZXCON中，OC2=ON2+CN2.而AB>CD,可得到AM>CN,则0MV0N.

证明：连结0A,0D.

,1

AM=-AB

ON1CD=>CN=1CD>=AM〉CN

AB>CD

>=OM<ON.

在RtZXAOMnOA2=OM2+AM2

在RtZXCON=OC2=ON2+CN2，=OM2+AM2=ON2+CN2

OA=OC

J

三、应用举例，巩固新知

例1已知：如图7-61,在。O中，弦AB所对的劣弧为圆的;，圆的半径为2厘

米.求AB的长.

图7-61

分析：圆的;即品.因此