第七讲指对幂函数（教师版）高考数学一轮复习练习

第七讲·指对幂函数学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________一、单选题（共25分）1．★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状【分析】根据指数函数的性质判断即可.【详解】由，，在上单调递减，所以排除AB选项；令，，此时图象①在②的下方因此C项正确．故选：C.2．★（本题5分）（2425高三下·湖南永州·开学考试）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】根据对数函数的单调性可以判定的正负，根据指数函数与对数函数的单调性可以判定一个大于1，一个小于1.【详解】是单调递增函数，所以,是单调增函数，所以,所以,故选：A.3．★★（本题5分）（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】指数幂的运算【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求.【详解】当时，由，得；由，得；由，得.因为，所以是关于的减函数.又，所以，所以.故选：A.4．★★（本题5分）（2425高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．12【答案】B【难度】0.65【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、基本不等式求和的最小值【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解.【详解】由可得，由，故，故，由于，故，故选；B5．★★★（本题5分）（2425高三上·湖南长沙·期末）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性【分析】分别求出和时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可.【详解】当时，单调递增，所以当时，有最小值，当时，单调递减，所以，无最小值，因为在存在最小值，所以，令，因为和在上均单调递增，所以在上均单调递增，又因为，所以当时，，即成立，所以的解集为.故选：D二、多选题（共30分）6．★★★（本题6分）（2020高三·全国·专题练习）关于函数，下列描述正确的有（

）A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称C．若则 D．有且仅有两个零点【答案】ABD【难度】0.85【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的变换、对数型复合函数的单调性、函数对称性的应用【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项．【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选：ABD．7．★★★（本题6分）（2023·湖南·模拟预测）已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（

）A．B．在定义域上单调递增C．的导函数D．【答案】BD【难度】0.85【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性、简单复合函数的导数【分析】根据函数的奇偶性可得，结合选项即可逐一求解,【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此，对于A,,故A错误，对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，对于C，当且仅当时取等号，而，所以C错误，对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确故选：BD8．★★★（本题6分）（2425高三上·湖南株洲·期末）若，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【难度】0.65【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根、指数幂的运算【分析】将化为，构造函数，利用导数研究函数单调性可得函数在上单调递增，进而，代入C，D选项即可判断；根据函数单调性可知，故，即可判断选项A；构造函数，利用导数研究其单调性可知在上单调递增，故，代入即可判断选项D.【详解】，.设，则.，在上单调递增，.，，故选项C，D正确；又，，，，，故选项A错误；设，则.令得；令得，在上单调递增，在上单调递减，，，即，，故选项B正确.故选：BCD.9．★★★★（本题6分）（1920高一上·山东聊城·期末）已知函数，下面说法正确的有（

）A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称C．的值域为 D．，且恒成立【答案】BC【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域、定义法判断或证明函数的单调性、判断指数函数的单调性【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.【详解】的定义域为，关于原点对称,，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项A不正确，选项B正确；，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项C正确；设任意的，则，因为，，，所以，即，所以，故选项D不正确；故选：BC10．★★★★（本题6分）（2425高三上·湖南长沙·期中）点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（

）A．B．点在曲线上C．为定值D．当且仅当点与点重合时，取最小值【答案】ACD【难度】0.65【知识点】相反向量、求指数函数解析式、垂直关系的向量表示、由导数求函数的最值（不含参）【分析】设点，由题意得出点坐标.由对称性得到互为相反向量判断A选项；由点的横纵坐标的关系判断B选项；由向量数量积为0得到垂直，从而知道三角形为等腰三角形得出角的大小；列出的解析式，求导后得出函数单调区，从而求出最小值.【详解】点在曲线上，可设，根据题意，，，又点是点关于直线的对称点，故.对于A选项，点和点关于坐标原点对称，项正确；对于B选项，根据确定曲线方程，设，得，B选项错误；对于C选项，因为，且，故，所以是等腰直角三角形，故，C选项正确；对于D选项，，，则，∴在单调递减，在单调递增，∴当且仅当时，取最小值，即点与点重合，D选项正确.故选：ACD.三、填空题（共20分）11．★★★（本题5分）（2425高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数，满足，且，则的最小值为．【答案】9【难度】0.65【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根据对数的性质可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解.【详解】不妨设，如图，作出的图象，根据可得，故，即可，故，当且仅当，即时等号成立，故答案为：912．★★★（本题5分）（2425高三上·江苏·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】由对数（型）的单调性求参数【分析】由一元二次函数性质结合对数函数定义和性质列出关于a的不等式组即可计算求解.【详解】由题可得在上恒成立，且在上单调递减，所以，故实数的取值范围是.故答案为：.13．★★★★（本题5分）（2425高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是.【答案】【难度】0.65【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、求二次函数的值域或最值、指数函数图像应用【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围.【详解】画出的图象，当时，单调递增，且，当时，单调递增，且，令，解得，令，则，若，且，则，，所以，，当时，取得最小值，最小值为，又时，，时，，故.故答案为：14．★★★★（本题5分）（2425高二上·山西·阶段练习）已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是.【答案】【难度】0.4【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】因为的定义域为，，所以为奇函数.因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增.因为为R上的奇函数，所以在上单调递增，因为，所以不等式即为，则.因为，所以，即.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式.四、解答题（共45分）15．★★★（本题15分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)若函数的定义域为，求实数a的值；(2)若函数的定义域为，值域为，求实数a的值；(3)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)2(2)1或(3)【难度】0.65【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、求对数型复合函数的定义域、由对数（型）的单调性求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围【分析】（1）根据对数型函数定义域的性质，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可；（2）根据对数型函数的值域的性质，结合二次函数的性质进行求解即可；（3）根据复合函数单调性的性质，结合对数型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）依题意知的解集为，所以方程的解为，，根据韦达定理，得，解得，即实数的值为2.（2）函数的值域为..又且函数的定义域为，的最小值.而，，解得，即，所以实数的值为1或.（3）在上为增函数，函数在上是减函数，函数在上为减函数且，解得即，故实数的取值范围为.16．★★★★（本题15分）（2122高一·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．(1)求的值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【难度】0.65【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数【分析】（1）根据函数的图象关于原点对称，由求解；（2）由时，恒成立，转化为在上恒成立求解；（3）根据在上单调递增，在上单调递减，由求解.【详解】（1）解：因为函数的图象关于原点对称，所以，即，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，又时，无意义，故．（2）因为时，恒成立，所以恒成立，所以在上恒成立，因为是减函数，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是．（3）因为在上单调递增，在上单调递减，因为关于的方程在上有解，所以即解得，所以实数的取值范围是．17．★★★★（本题15分）（2425高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数且的定义域为．(1)当时，求；(2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值；(3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由，【答案】(1)答案见解析(2)(3)存在；【难度】0.4【知识点】函数新定义、对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、根据值域求参数的值或者范围【分析】（1）当时，可得，分为，两种情况解不等式即可；（2）根据“类线性函数”的概念可得，利用对数和指数幂的运算性质求解；（3）根据题中条件及的单调性可得是方程的两个不同的实数根，设，则方程有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）当时，，即，当时，，得，解得；当时，，得，解得，故当时，的定义域为；当时，的定义域为．（2）由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得．根据“类线性函数”的概念可知，，总有，即，则，所以，即，所以对于恒成立，又不恒为0，所以．（3）存在．易知当时，的定义域为，因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以