集合与常用逻辑用语高三三轮冲刺高频考点复习讲义

集合与常用逻辑用语高频考点分析高频考点分析1.集合的性质：确定性、互异性、无序性.2.元素与集合关系的判断及应用(1)属于与不属于概念：=1\*GB3①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作．=2\*GB3②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作．(2)常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或3.子集的概念(1)子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)．(2)真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集.记作(或).(3)集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作

4.子集的个数如果集合中含有个元素，则有(1)的子集的个数有个．(2)的非空子集的个数有个．(3)的真子集的个数有个．(4)的非空真子集的个数有个．5.并集(1)定义：由属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集.记作：（读作“并”），即．(2)性质=1\*GB3①，；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．6.交集(1)定义：由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集.记作：（读作“交”），即．(2)性质=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．7.补集(1)定义：对于一个集合，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．(2)性质=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.8.充分必要条件（1）若是的充分条件，则.（2）若是的必要条件，则.（3）若的充分条件是，则.（4）若的必要条件是，则.9.全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．(2)全称量词命题=1\*GB3①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．=2\*GB3②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为10.存在量词与存在量词命题(1)全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．(2)存在量词命题=1\*GB3①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。=2\*GB3②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为11．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题，它的否定：.(2)特称命题，它的否定：.12.常见词语的否定正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是或否定不等于不大于不小于不是不都是且正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有个

真题真题速递1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最大值，阴影部分面积.故选：C.2．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.3．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得.故选：C.4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：C5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，则，故选：D7．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选：C.8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为集合，，所以，故选：B9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B.10．（2024·新课标I卷·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，且注意到，从而.故选：A.

实战演练实战演练一：集合的定义、关系与计算1．（2025·山东济南·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】集合，则，所以.故选：B2．（2025·河北石家庄·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为集合，所以集合，则.故选：A.3．（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，，即，则，又，故.故选：B.4．（2025·北京西城·一模）已知集合，，那么集合（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，，所以，.故选：A.5．（2025·贵州·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数在R上单调递增，，，，，，且，所以集合.集合，由于指数函数的值域是，所以集合.那么.故选：B.6．（2025·河北保定·一模）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，解得，所以，所以.故选：D7．（2025·河北秦皇岛·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，，，.故选：A.8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，而，所以.故选：B9．（2425高三下·江苏常州·阶段练习）集合，那么的真子集个数有（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，又，易知，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以，所以的真子集个数为，故选：D.10．（2425高三上·山东淄博·期末）已知集合，集合，则子集的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【详解】因为集合，且，可得，所以子集的个数为2.故选：B.11．（2025·河南开封·二模·多选）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】，对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误；对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确；对C，由A知，，则，故C正确；对D，显然，必有，故D错误；故选：BC.12．（2025·贵州黔东南·一模·多选）已知集合，，，则（

）A．B．中元素的个数为8C．是A的一个真子集D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种【答案】ABD【详解】，由条件可得，正确；，有8个元素，正确；，，显然C错误；由条件可知中有个整数，其中有6个奇数，所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确；故选：ABD13．（2425高一上·重庆九龙坡·期末·多选）已知集合，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】由可得得，故,A错误，,B正确，，C正确，，D正确，故选：BCD14．（2425高三上·甘肃白银·期末·多选）已知集合，，则（

）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】由题易知，，所以，，所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确.故选：BCD.

实战演练实战演练二：常用逻辑用语1．（2324高一上·江苏·期末）“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，得；反之，取满足，而，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A2．（2425高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】解不等式，得，因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A.3．（2223高一上·云南曲靖·阶段练习）命题的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定是.故选：A4．（2024·广东·二模）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】解不等式，可得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A．5．（2324高三上·安徽·期中）已知平面向量，则“”是“，共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若则，共线，故充分性成立；若，共线，不一定得到，如，，显然满足，共线，但是不存在实数使得，故必要性不成立；所以“”是“，共线”的充分不必要条件.故选：A6．（2425高三上·山西长治·阶段练习）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】命题“，”的否定是“，”，故选：C.7．（2425高三上·河南周口·期中）若函数的定义域为集合，集合，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为，，所以，集合是集合的真子集，所以，是的必要不充分条件，故选：B.8．（2425高三上·广东广州·阶段练习）设为实数，则是的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】，故解集为，而在R内无解，解集为，由于是任何非空集合的真子集，故是的必要不充分条件.故选：C.9．（2425高三上·江苏·阶段练习）记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】在中，由及正弦定理，得，则，而，则，两边平方整理得，而，于是，，因此为直角三角形；反之，为直角三角形，或或，所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确.故选：B10．（2425高三上·海南三亚·期末）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件，所以命题“，”的否定为“，”，A选项正确.故选：A

实战演练实战演练三：集合与常用逻辑用语中的含参问题1．（2425高三上·新疆喀什·阶段练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以且.由；由.综上可知：.故选：A2．（2024高三下·四川内江·专题练习），，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知集合，，，，①当时，满足，此时，故；②当时，因，则，解得．综上，．故选：A.3．（2425高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，因为，且满足，，所以当时满足，此时，解得，当时，则有，解得,综上，，即实数的取值范围为．故选：A．4．（2425高三上·河北邯郸·阶段练习）已知集合，，若，则得取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知，因为，所以，所以.故选：D.5．（2425高三上·江苏·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以.故选：B.6．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】设，则在单调递增，又，所以，即，故.则.由题意是的充分条件，则，所以有，故实数m的取值范围是.故答案为：.7．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为.【答案】【详解】因为命题：“，”为真命题，即等式恒成立，则，解得，故答案为：.8．（2425高三上·山东德州·阶段练习）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是．【答案】【详解】甲：，设此范围对应集合；由，则乙：，设此范围对应集合，因为甲是乙的必要不充分条件，则是的真子集，则，所以的取值范围是：.故答案为：9．（2425高三上·河北唐山·期中）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是．【答案】【详解】命题“，”为假命题，命题：“，”为真命题．，，解得．实数的取值范围是．故答案为：．10．（2425高三上·江西·阶段练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是．【答案】【详解】不等式，解得，依题意，，则，此时，所以m的取值范围是.故答案为：11．（2425高三上·上海·阶段练习）已知集合，，若有两个元素，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】，因为有两个元素，所以或，解得或，所以.故答案为：12．（2425高三上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是.【答案】【详解】解方程得或，即，又，所以，即的取值范围是.故答案为：13．（2425高三上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为.【答案】【详解】，，.故答案为：.14．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】易知，因为，所以，所以，即．可得实数a的取值范围是.故答案为：15．（2425高三上·河北邢台·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是.【答案】【详解】由题可知，，由，得，所以，故的取值范围是.故答案为：.

实战演练实战演练四：集合新定义1．（2425高三上·新疆喀什·阶段练习）已知数列，记集合.(1)若数列为，写出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值．【答案】(1)(2)存在，(3)2013【详解】（1）由题意可得，，，所以；（2）假设存在，使得，则有，由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，又，，因为故令，可得故存在，使得（3）首先证明时，对任意的都有，因为，由于与均大于且奇偶性不同，所以对任意的都有，其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，若正整数，其中，则当时，由等差数列的性质可得：，此时结论成立，当时，由等差数列的性质可得：，此时结论成立，对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，由前面证明可知正整数不是中的项，所以的最大值为．2．（2425高三上·江苏·阶段练习）记集合中的元素的个数为，设、，，集合，集合是的一个子集，满足：，且中的任意两个元素之和都不等于和．(1)当时，写出的所有可能结果；(2)记的最大值为，①当时，直接写出，并写出使得的；②求．【答案】(1)或或或或．(2)①，；②答案见解析.【详解】（1）当时，，则集合中任意两个元素之和不等于和，所以或或或或．（2）①．．解释：构造数列、、、、、、、、，该数列共项，且数列中任意相邻两项和为或，若，则必然会在上述数列中选出相邻两项，不符合要求，故，当时，由于只能间隔取数，故选择第、、、、项构成集合，即，且此时的集合的个数只有一个，是；②当且为奇数时，构造数列、、、、、、、、、、、、、，在前项与后项中各任选一项，两项的和一定大于，所以无论前k项怎么选，不影响后项的选择，对于前项．任意相邻两项的和都为k或，所以最多选出项，对于后项，任意两项的和都大于，所以都可以选．故．当且为偶数时，构造数列、、、、、、、、、、、、、，同理，前项中最多选出项，后项都可以选，故．当且为奇数时，构造数列、、、、、、、、、、同理，前项中最多选出项，后项都可以选，故．当且为偶数时，构造数列、、、、、、、、、、、，同理，前项中最多选出项，后项都可以选，故．所以，为偶数时．为奇数时．3．（2425高三上·福建·阶段练习）设正整数（为常数），数列各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集，记为中的元素个数.(1)若，，，，，求；(2)证明：(3)若，且，证明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某种次序排列后成等比数列，中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同.【答案】(1)5(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题可知，，，，，.所以，；（2）不妨假设，一方面，从中任选两数有中选法，所以，另一方面，因为，所以S中至少有个元素，又因为，即，至少还有个元素，所以；综上：.（3）记，则由（2）知，，结合知，，而，，，，所以，，而，，，，，，所以，，其中，而，，，，所以，所以任意都有，上式又等价于，故可取为奇数，且，为偶数，且，满足，，，.其中元素从小到大排列均构成公比为的等比数列.故命题得证.4．（2425高三上·山西大同·阶段练习）已知集合.设的所有元素按一定顺序排列得到数列和.若和满足，则称和关于全封闭，否则称和关于半封闭.(1)若，写出两个不同的，使得和关于全封闭；(2)设，且，证明：若，则和关于半封闭；(3)设数列，随机变量和分别服从和，，证明：若和关于全封闭，则存在，使得.【答案】(1)，，，.（其中任选两个即可）；(2)证明见解析；(3)证明见解析；【详解】（1），，，.（其中任选两个即可），选取其中一个，说明其满足题意，因为，则，则，，，，（2）若，则，故.假设和关于全封闭，因为，则由题中定义可知和不能为中相同的元素，即，这与矛盾，假设不成立.故和关于半封闭.（3）若，由结论所具有的对称性及由(1)所得到的结果猜想:若和关于全封闭，则存在，使得和关于全封闭.由数列和可构成一个数表（i）：01交换数表(i)中两行，得到数表(ii):01调整数表(ii)中各列的顺序，使数表的第一行变为，此时设数表的第二行变为，得到数表(i):记该过程为第二次操作.假设，则.不妨设，则经过第一次操作后，在数表(ii)中与同列:再经过第二次操作后，在数表(i)中0与同列，因此，故.又因为和关于全封闭，由(2)可知，，且经过两次操作后和也关于全封闭.因为，故，这与矛盾.故若和关于全封闭，则存在，使得和关于全封闭.因为，故，这与矛盾.故若和关于全封闭，则存在，使得和关于全封闭.因为和关于全封闭，则.所以，同理有，故.因为随机变量和分别服从和，故.因为且，故，又，故.5．（2425高三上·湖南长沙·阶段练习）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合.(1)已知集合，求的值；(2)已知集合，若，求的值；(3)已知，记集合或.（ⅰ）当时，证明：的充要条件是；（ⅱ）若，求的所有可能取值.【答案】(1)(2)2(3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【详解】（1）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上，结合集合中元素的互异性，.（2）（2）由（1）知，且，且同时成立，解得，所以，又，所以.（3）（3）（ⅰ）先证充分性.因为，所以，且.从而可以设，其中，此时中的元素为，故.再证必要性.设，其中.注意到和集中的最小元素为，最大元素为，因为，所以中间三个元素可以是，也可以是，它们是对应相等的，所以有，即.故，得证.（ⅱ）①若，由（ⅰ）小问的分析知，设，其中，此时中的元素为，这与条件矛盾.②取，其中，容易验证此时中的元素为，符合条件，所以可以取2.（注：构造方式不唯一，集合中的元素满足有一个，其余均为即可.）③若，设，其中.结合知，，其中，至少存在两个不同的正整数，使得.不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数.注意到（*），这是中的个不同的元素.根据的定义我们有，即，（★）当时，由的最小性知，即，此时我们有，因此，与（★）矛盾，当时，有，由此说明：是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等.同理，根据的定义有是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等.因为，所以，此时，矛盾.注：个元素也可以按照其他从小到大的顺序排列，然后找出不同于这个元素的其他元素.综上，的取值只能为2.6．（2425高三上·北京东城·阶段练习）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义.(1)若，求的值及的最大值；(2)从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：；(3)求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.【答案】(1)，最大值2；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）因为，所以，故.因为，所以.所以.所以当时，取得最大值2.（2）由的定义知：.所以.设删去的两个数为，则.由题意知，且当其中至多一个不等式中等号成立，不妨设时，，所以，所以，所以，即.（3）中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，任取一个），因为，所以存在，使得，即.由，设集合，则中一定存在元素使得.否则，，与是最大数矛盾.所以，即.7．（2425高三上·江西新余·阶段练习）已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集.(1)证明：好集可以构成优集合.(2)若好集