643第3课时正弦余弦定理应用举例教学设计-高一下学期数学人教A版

第3课时6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例【教学内容】余弦定理、正弦定理应用举例.【教学目标】（1）通过对具体实例的分析，能够灵活地选择正弦定理和余弦定理，发展学生分析和解决问题的能力；（2）通过对实际问题特征的分析，能合理正确使用余弦定理、正弦定理解决实际测量问题，发展数学建模、数学运算核心素养.【教学重点与难点】教学重点：余弦定理、正弦定理在解决实际测量问题时的合理正确使用.教学难点：用余弦定理、正弦定理解决实际测量问题时，对测量问题的理解，公式的正确选择.【教学过程设计】环节一复习回顾，巩固所学引导语：在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，经常需要借助专业测量工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，通过对具体实例的分析，设计合理恰当的测量方案，再利用所学知识进行求解.问题1：在前面的学习中，我们知道余弦定理、正弦定理和它们的推论分别能解决哪些类型的解三角形问题？师生活动：学生独立思考，作答，教师点评和总结.答：余弦定理及其推论：“已知两边和一角（SAS、SSA）”、“已知三边（SSS）”正弦定理及其推论：“已知两角和一边（AAS、ASA）”、“已知两边和其中一边的对角（SSA）”设计意图：通过问题帮助学生回顾前面所学的内容，再次厘清两个定理在解三角形时的使用情形，同时为进一步学习奠定基础，培养学生归纳概括整理知识的能力.环节二典例探究，构建模型例1（1）如图，A、B两点都在河的同一岸（不可到达）且中间隔着一座山，现在河的对岸选择另一点C，测得，，，则A、B两点之间的距离为多少米？师生活动：学生独立完成，规范书写.最后教师做点评和总结.教师总结：本例题是求不可达又不可视的两点间的距离问题.已知三角形两边及其夹角，解题思路是利用余弦定理求解距离.解：由余弦定理，得所以（m）.即A、B两点之间的距离为米.设计意图：本例题是测量距离的第一种基本类型：两点间不可达又不可视的距离问题.让学生学会应用余弦定理，在老师的引导下逐步完善并规范步骤，体会在具体实例中解三角形的过程，培养数学运算核心素养.例1（2）如图，A、B两点都在河的同一岸（不可到达），现在河的对岸选择另一点C，测得，，，则C点与A、B两点之间的距离分别为多少米？师生活动：学生独立完成，规范书写.最后教师做点评和总结.教师总结：本例题是求可视不可达的两点间的距离问题.由于三角形的两边均不可直接测量，已知三角形的两角和一边，解题思路是利用正弦定理求解距离.解：由正弦定理，得（m）.（m）.即C点与A、B两点之间的距离分别为米、米.设计意图：本例题是测量距离的第二种基本类型：两点间可视但不可达的距离问题.让学生学会应用正弦定理，在老师的引导下逐步完善并规范步骤，体会在具体实例中解三角形的过程，培养数学运算核心素养.例1（3）（教科书第49页例9）如图，A、B两点都在河的同一岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法，并求出A，B间的距离.师生活动：教师给出如下问题进行引导：①构建一个三角形能否求解？②至少知道哪些条件才能解三角形？回忆余弦定理、正弦定理解三角形问题的类型.学生独立思考后作答：①构建一个三角形无法解决问题；②在构建一个三角形，且至少知道三角形的两角和一边.教师讲解解决步骤，详细解答参见教科书第49页：本例题是求两点都不可达的距离问题.若测量者在A，B两点的对岸取定一点C（称作测量基点），则在点C处只能测出的大小，因而无法解决问题.为此，可以再去一点D，再构建三角形，测出线段CD的长，以及，，，这样就可以借助正弦定理和余弦定理算出距离.变式：如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河对岸选取相距40米的C，D两点，测得，，，则A，B两点间的距离为？师生活动：学生独立思考，教师引导“在和中都已知两角和一边，可以利用哪一定理求出哪些量”“知道哪些量可以怎样求出AB”.学生在教师引导下作答：先利用正弦定理求出AC、BC，然后利用余弦定理计算AB，或者求出AD、BD也可以计算AB.最后教师点评和总结.解：由正弦定理，得,由余弦定理，得所以（m）.即A、B两点之间的距离为米.另解：由正弦定理，得,由余弦定理，得所以（m）.即A、B两点之间的距离为米.设计意图：本例题是测量距离的第三种基本类型：两点都不可达的距离问题.让学生学会分析题目所给条件构建三角形，选择在特定情境下和条件限制下的测量方法，并合理正确应用正弦定理、余弦定理求解，在老师的引导下逐步完善并规范步骤，体会在具体实例中解三角形的过程，培养数学建模、数学运算核心素养.例2（1）如图，D，C，B在地平面同一直线上，，从D，C两地测得A点的仰角分别为和，则A点离底面的高AB等于多少？师生活动：教师引导分析，学生独立思考、作答，规范书写.最后教师点评和总结.解：由正弦定理，得（m）.（m）.设计意图：本例是测量高度的第一种基本类型：底部可到达的高度问题，此类问题可直接构造直角三角形.让学生掌握在三角形中利用正弦定理，再解直角三角形求解距离，发展逻辑推理和数学运算核心素养.例2（2）如图，A,B是水平面上的两个点，相距800m，再点A测得山顶C的仰角为,,又在B点测得,其中点D是点C到水平面的垂足，求山高CD.师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.解：由于平面,,所以.在中，,由于，得，（m）.即山的高度为（m）.设计意图：本例是测量高度的第二种基本类型：底部不可到达的高度问题，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内的某量，从而把空间问题转化为平面内三角形问题，再利用正弦定理求解，发展逻辑推理和数学运算核心素养.例3（教科书第51页例11）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7海里的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到）？需要航行的距离是多少海里（精确到1海里）？师生活动：教师引导分析，学生独立思考、作答，规范书写.最后教师点评和总结.分析：由于题目中没有给出图形，因此首先应根据“正东方向”“南偏西”“目标方向线”等信息，画出示意图.再根据题目条件，选择利用余弦、正弦定理解决问题.解：根据题意，画出示意图（图6.416）.由余弦定理，得于是（海里）.由正弦定理，得，，于是.由于，所以.因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，大约需要航行24海里.设计意图：本例是测量角度的问题，首先画出示意图是解决问题的重要环节，让学生掌握在具体情境下构造已知两边及其夹角的三角形，利用余弦定理求解距离，再利用正弦定理求解角度，发展逻辑推理和数学运算核心素养.环节三小结提升，回顾所学问题2：测量距离、高度分别有哪几种情形，每种情形应该用什么方法？测量角度又用什么方法？师生活动：学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结如下：（1）测量距离：①两点间不可达或不可视：用余弦定理；②两点间可视不可达：用正弦定理；③两点都不可达：正弦定理与余弦定理结合运用.（2）测量高度：①底部可到达：先用正弦定理，再解直角三角形②底部不可到达，但仍在与地面垂直的同一平面内：先把空间问题转化我平面内解三角形问题，再用正弦定理.（3）测量角度：根据已知信息，余弦定理与正弦定理结合投影运用.设计意图：通过问题让学生概括前面例题中测量距离和高度的问题类型，明确每一个问题的解决方法，培养学生归纳总结的能力，同时能够提升思维，发展素养.问题3：在具体事例中，求解问题时应当注意什么？师生活动：学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结如下：（1）首先应正确理解题意，注意描述的方位、角度等信息；（2）根据信息，如果题目中没有给出图形，画出示意图是解决问题的重要环节；（3）根据特定情境和条件限制，分析已知条件.若已知条件足以解三角形，正确选择定理；若已知条件不足以解三角形，构建三角形，增加已知条件，正确选择定理.设计意图：进一步反思巩固所学知识，厘清解决问题时的步骤、求解过程中的注意事项和解题关键，形成稳固的知识结构体系.环节四目标检测，巩固知识目标检测：教科书第51页练习1、2、3.设计意图：通过3个练习题，检测本堂课教学效果，对学生学习结果进行课堂测评，其中第1题是测量距离的两点可视但不可达类型，用正弦定理；第2题是证明题，实际上是测量高度的底部不可到达类型，在中先用正弦定理求出AP，再解直角三角形求出PQ.第3题