【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题13 数学归纳法 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题13数学归纳法真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、填空题1．（2019·全国·高三竞赛）在数列中，，，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.则=_______.【答案】2009【详解】由已知得.下面用数学归纳法证明：.显然，当n=1时，结论成立.假设当n=k时，结论成立，即.则当n=k+1时，==，.故当n=k+1时，结论也成立.综上，，总成立.因此，.故答案为20092．（2019·全国·高三竞赛）已知实数列定义为，.设.则中有______个完全平方数.【答案】无限.【详解】设.则.①由，得.若，则由，知.故当时，.又由式①知当时，为奇数，为偶数.于是，，.则.由归纳法知.所以，为完全平方数.故答案为无限二、解答题3．（2021·全国·高三竞赛）数列满足：，求的通项公式．【答案】【详解】用数学归纳法，当，符合；假设，当时，则=，故时，命题成立，所以．4．（2021·全国·高三竞赛）求所有的函数，满足，且对于所有整数，有.【答案】函数只有一个：【详解】令，得，即.①令，得，所以或2.若，由①，.令，得.但不成立，矛盾.若，由条件，对任意的整数，有.令，得，即.所以，为偶函数.根据①由数学归纳法可证明，对任意正整数，有.再由为偶函数知对于任意的整数，有.经验证，满足条件.综上，满足条件的函数只有一个：.5．（2021·全国·高三竞赛）已知.证明：当时，.【答案】证明见解析【详解】（1）当时，左边；右边；因为，所以，所证不等式成立.（2）假设时不等式成立，即成立.当时，，所以，当时，不等式也成立.由（1）､（2）可知，当时，所证不等式成立.6．（2018·全国·高三竞赛）设，求证:（1）;（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）令，则.只须证明下面用数学归纳法证明.当时，命题显然成立.假设有.因为函数上是严格递增的，所以，因此，对每一个.都有.即.（2）因为，所以，.即，于是，即.则故.7．（2018·全国·高三竞赛）设个实数；满足条件（1）；（2），；（3），.求证：.【答案】见解析【详解】如果，由递推关系即知：对一切，均有.结论显然成立（事实上此时由条件（1）可知，必有）.设，当时，结论显然成立.假设时，结论成立，只要证时结论成立.令，，，.设，，，；，，，.易验证，且，，；，，.由归纳假设有，即.故.所以，当时结论成立.8．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足,,.证明:对任意的,.【答案】见解析【详解】固定，改证以下命题：对任意的，有.

①对用数学归纳法.当时，结论显然.设时，式①成立，即.当时，.于是，式①亦成立.因此，式①得证.在式①中取，得.9．（2018·全国·高三竞赛）若百位数字为9的位自然数的各位数字之和为，其中，当的值最小时，是多少？【答案】1999【详解】（1）当时，令.则（当时等号成立）（当时等号成立）（当时，等号成立）.故当的值最小值时，为1999.（2）当时.用数学归纳法证明..1°当时，显然成立.2°假设当时命题成立.即.那么，当时，有.故当时，命题成立.因此，当时，恒成立.于是，.故当达到最小值时，为1999.10．（2019·全国·高三竞赛）求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数.【答案】见解析【详解】设，则，且.下面利用数学归纳法证明.①当，时，有，都是整数，且都不是3的倍数，命题成立.②假设，都是整数，且都不是3的倍数，由三角公式有.可见，也是整数.下面证明不是3的倍数，若不然，则.但，故.与不是3的倍数矛盾.所以，不是3的倍数，这表明，命题对时成立.由数学归纳法知，命题对一切正整数成立.11．（2019·全国·高三竞赛）设数列满足，，试求．【答案】2009【详解】由，得.又，有，，．下面用数学归纳法证明：当时，.

①事实上，当时，式①结论显然成立．假设当时，结论成立．又由于函数在上单调递减，结合式①得.另一方面，.

②而．

③当时，，式③成立．由式②、③得．综上，．由归纳原理知，当时，总有式（1）成立．故所求．12．（2018·全国·高三竞赛）已知数列满足，且对所有正整数有.求证：存在正整数，使得.【答案】见解析【详解】先用数学归纳法证明：对一切正整数有.当时，显然，.假设当时，结论成立.则.由和归纳假设知都是正数.从而，.这就完成了归纳证明.因此，存在足够大的正整数，使得.13．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数m、k，有n个选手参加一次测试，该测试由m个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取得相同的评分．求n的最小值，使得总存在k个选手，在第j个项目中的k个得分要么单调递增，要么单调递减，．【答案】n的最小值为．【分析】结合引理：一个项且每两项不同的实数数列存在项的递增子列或项的递减子列．利用数学归纳法可求得n的最小值【详解】为方便，用来表示由的m个得分构成的n个m维向量．先来构造时不满足条件的例子．用表示分量均为的所有m维向量，并设．取为，，…，，…，…，任取，设，按上述表示合并同类项后为为下标最小的非零系数，则．由定义易知．下面证明，的诸分量的正负性与的相同．由于，故在的d项中，每个分量绝对值比其他项和的对应分量绝对值都大．若存在满足条件的k个选手，设的各个分量的正负性与的一样．则的系数严格递增，这是不可能的．再来证明时结论成立．先证明一个引理．引理：一个项且每两项不同的实数数列存在项的递增子列或项的递减子列．证明：若否，考虑以每一项开始的最长递增子列的长度，则这些数都在中．由抽屉原理，必存在个数相同．而若，且，开始的最长递增子列的长度一样，则，否则可将并入，开始的最长递增子列，得到比开始的最长递增子列更长的递增子列，矛盾．如此便找到了一个项的递减子列，矛盾．回到原题．对m归纳．时直接使用引理即可．假设结论在时成立，接下来考虑m时的情况．由于，结合引理知存在个选手第一个项目得分单调递增或递减．而由归纳假设知这些选手中存在k个选手第2，3，…，m个项目的得分单调递增或递减．故这k个选手满足条件．结论成立．综上所述，n的最小值为．14．（2018·全国·高三竞赛）正整数数列满足：（1）求；（2）求最小的正整数，使得．【答案】（1）637；（2）5827【详解】（1）易得数列的初值（见表1）.表112345678910111213141241510411312213114接下来关注使的下标它们满足如下递推关系；.①下面对进行归纳.当时，式①成立.设已有，则由条件归纳易得，.②于是，当时，.因此，，即式①成立.由式①得.记，则.所以，.因此，.而，则.又，故由式②得.（2）由式②知，当时，.因此，当时，.而当时，要么，要么，即的值取不到2008.进而，考虑的情况.由，得.由式②得.故满足的最小的为5827.15．（2018·全国·高三竞赛）给定两个数列，满足，;，，证明：对任意的可表为两个正整数的平方和．【答案】见解析【详解】对于数列有.由，于是，对任意的，.所以，.

①对于数列，由条件知数列严格递增．将两边平方得．②在式②中用代替n得.

③由式②、③知，是关于t的方程的两个相异根，于是，由根与系数关系得，即．

④由式①、④知，、为同一个数列，因此，.又据式①知，数列的各项为正整数，且，，构作辅助数列，其中，；⑤．⑥显然，当时，皆为正整数，且.下面证明：对任意的，．⑦对n用数学归纳法．当时已验证．设当时，式⑦成立．当时，由于，则而据归纳假设有因此，故由归纳法，对一切，式⑦成立．由式⑦得，其中，为正整数．16．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．【答案】证明见解析【详解】用表示对所有数组的求和，下面用数学归纳证明如下的等式：

①(1)当时，①式显然成立；当时，，即①式成立．（2）假设时，①式成立，则时，我们有，即时①式成立．由（1）（2）可得：．回到原题，由，可得，即，所以存在数组（其中，使得，即．17．（2021·全国·高三竞赛）已知n个非负实数和为1．求证：．【答案】证明见解析【详解】作如下换元：设，则（，且这里特别定义）．定义数列如下：，则原式．只需，即只需，即．采用归纳法，对成立．假设成立，考虑，，归纳成立．所以．18．（2021·全国·高三竞赛）设数列满足.求证：.【答案】证明见解析【详解】令，得，则.令，得，则.①令，得.②根据①得：，于是，.③另一方面，由②､①得.④由③､④得递推关系式.由此可得，猜测.下面用数学归纳法证明这个猜想：对于，结论显然成立；假定，则有，所以当时等式成立.因此，成立.对于，有.所以.19．（2018·全国·高三竞赛）定义在正整数集上，且满足，.求证：对所有整数，有.【答案】见解析【详解】由题设显然有.将变形为，则.

①故.

②，.由此猜想.

③用数学归纳法证明式③对的整数成立.当时，，式③成立.假设时，式③成立.当时，有.

④由归纳假设有.因为是正整数，由上式有.

⑤由式④、式⑤有.

⑥又.

⑦由式⑥、式⑦知式③对成立.所以，式③对任意正整数成立.因此，所证不等式成立.20．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中．【答案】【详解】当时，令，则．当时，．令，则问题化为：，证明：．当时，首先证明：．

①①式，由均值不等式知成立．由①式知．假设时，对任意正实数结论成立．则时，由对称性不妨设中最大，则，所以，由归纳假设知，此时结论成立．由数学归纳法知，．故．当时，．由于，令，则，所以．综上所述，21．（2018·全国·高三竞赛）数列满足：，.求证：对一切，均有.其中表示不大于实数的最大整数，是斐波那契数列：.【答案】见解析【详解】用数学归纳法证明.记.当时，由，得.当时，，.若，则.若，则.于是，.令，易证在上严格递减，则有.假设时命题成立，即，①.②若，则由②得，.③若，又因为，故.结合式①，即得式③.因此，当时，命题成立.综上可知，命题成立.22．（2018·全国·高三竞赛）已知数列．求证：．【答案】见解析【详解】用第二数学归纳法．，．假设，则时，．这表明时命题成立．由数学归纳法得数列是单调的，还可证．23．（2018·全国·高三竞赛）给定正整数，对于正整数，集合.集族满足如下条件：（1）的每个集合都是的元子集；（2）中的任意两个集合至多有一个公共元素；（3）的任意一个元素恰出现在中的两个集合中.试求的最大值.【答案】【详解】的最大值为.首先，估计的上界.一方面，考虑集合.由条件（3）知，对中的任意一个元素，有且仅有一对，使得.因此，.另一方面，考虑集合.由条件（3）知.由条件（1）知.故．由条件（2）知，.于是，.从而，，即.下面用数学归纳法构造一个的例子.对，，，集族符合条件.假设当时，，满足条件.当时，，，其中，.令，其中，，.经验证，知集族符合条件.从而，由归纳原理知可取到.综上，所求的最大值为.24．（2018·全国·高三竞赛）奥运会排球预选赛有支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有支球队满足：胜，胜，胜，胜，则称这支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个阶连环套，则对于每个及每支球队，必与另外某些球队组成一个阶连环套．【答案】见解析【详解】以为顶点.如球队胜，则在两点间连一有向边：，如此得阶竞赛图.据条件，的个顶点可以排成一个阶有向圈，设为.则的任两点可沿箭头方向相互到达.首先证明：任一球队必在某个三阶连环套中.用分别表示被击败了的球队集合和击败了的所有球队集合.由于双向连通，必有，使得.于是，组成三阶连环套.假若已证得，对于，图中存在以为一顶点的阶连环套，圈之外的点的集合为.若中有一点，它所表示的球队既击败了圈中的某个队，又被圈中的另一个队

所击败，点把圈分成两条有向路，其中一条，例如它与有向路组成有向圈.依次考虑路上各点与点间的邻接情况，必有相邻的两点满足，而.现去掉边，而将路插入其间，便得到一个含有顶点的阶连环套.若中的任一点，它所表示的球队要么击败了圈中的每个队，要么被圈中的每个队所击败，则集合可分为两个不交的子集，其中，中的任一队战胜了圈中所有的队，而中的任一队负于圈中所有的队.由于图双向连通，故在集合中必有点，集合中有点，使得.在圈中任意去掉一个点，而用路代替，便得到一个含有顶点的阶连环套，故结论对于成立.由归纳法，结论成立.25．（2019·全国·高三竞赛）求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.【答案】6【详解】先证明一个引理.引理对任何凸六边形，都存在，使，其中，S为凸六边形的面积.引理的证明：如图，设交于点P、Q、R（可能重合），联结.由于6个三角形的面积之和不大于S，其中必有一个三角形的面积不大于.回到原题.当t=3、4、5时，正三角形、正方形、正五边形分别不符合条件，所以，.下面证明：当时，对任何凸n边形，都存在，使其中，S为凸n边形的面积.实际上，当n=6时，由引理，结论成立.设n=k时，结论成立.当n=k+1时，联结.如果，则结论成立.如果，则.由归纳假设，必有，使.结论成立.综上所述，t的最小值为6.26．（2019·全国·高三竞赛）正整数数列满足：，．试求通项公式．【答案】【详解】据条件知，数列严格递增．于是，先在条件式中取，得到，即．

①据式①左端得．则．

②又由式①右端得，且，故．

③据式②、③得整数．再对条件式中取，得到，即．

④由式④左端得．则．由式④右端得，即．因，所以，．故．继而在已知式中取，得，即．

⑤又为正整数，故式⑤右端恒成立．而由式⑤左端有，故，得．由，，，，猜想．

⑥首先，若将式⑥代入已知式得，即，或．此式显然成立．下证：是满足条件的唯一数列．对归纳．当时已验证．若式⑥对于成立，则对于，据已知式有．

⑦由式⑦右端得．则．

⑧（这里用到，当时，．）据式⑦左端得，即．

⑨其判别式．设与式⑨对应的关于的一元二次方程的两根为、．则．

⑩（这里用到，当时，．）据式⑧、⑩得．故由归纳法知，对任意的，式⑥成立，即．27．（2019·全国·高三竞赛）设是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有.(1)求;(2)假设是100个两两不相等的自然数,求;(3)是否存在符合题设条件的函数,使,证明你的结论.【答案】（1）（2）（3）【详解】(1)取,,则.由条件有.所以,.(2)证明:对任何大于1的自然数,及个两两互不相等的自然数,.对归纳.当时,结论显然成立.设时结论成立.那么,当时,设个两两互不相等的自然数为,其中,,由归纳假设有.因为,所以,.于是,与互异.则.故因此,当时,结论成立.所以,结论成立.取,得.(3)令.下证这样定义的函数符合条件.事实上,对任何两个不相等的自然数,有故.28．（2018·全国·高三竞赛）设，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.【答案】见解析【详解】首先利用归纳法证明：，，其中，，，..显然，当时，.假设i时成立，考虑i+1时的情形，有.记，由上面知.一方面，由二项式定理及费马小定理得=，.故.即：.29．（2019·全国·高三竞赛）求证:存在唯一的正整数数列，使得，.【答案】见解析【详解】即.因为均为正整数，若，则.从而，.于是，.故是各项均为1的常数数列，这与矛盾.所以，.则，即.当时，；当时，.所以，.注意到为正整数，则有.又，所以，.由此可得.故数列唯一确定.下面用数学归纳法证明:是正整数数列.由上知，假设.则.因为，所以，又，所以，从而，于是，，即.故是正整数数列.30．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：（a）；（b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）；（c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值.【答案】【分析】先构造一个特例，再根据逐步调整法和数学归纳法可证的取值范围，从而可求其最大值.【详解】答案是.先给出取得最大值的构造：易于验证，当由1011个以及1011个组成､由1011个以及1011个组成时，符合题意.再给出最优性的证明：分成两步进行.第一步，调整集合.断言一：对于中区间，如果，则将中的替换为不改变原结果，称之为“切换”.这是因为:①如果中的一个区间与相交，那么它最初和现在都与两个区间相交，成立；②如果中的一个区间与不相交，则它要么与和都不相交，要么恰与中一个相交.因此，如果