2025年上海交大附中中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年上海交大附中中考数学一模试卷一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（）A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度2．（4分）下列事件为必然事件的是（）A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形3．（4分）2024年12月4日，我国最隆重最富有特色的传统节日之一的“春节”申遗成功，“春节”被纳入联合国教科文组织非物质文化遗产名录和项目．过春节贴窗花是我国古老的习俗．窗花吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（4分）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c），拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（）A． B． C． D．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），C（3，0），如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BM是AC边中线，点D，DB＝DE，EF⊥AC于点F；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：ax4﹣ax2＝．8．（4分）在2024年4月，中国自主研发的第三代超导量子计算机“本源悟空”正式接入国家超算互联网平台，截至10月，正确的是．9．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AP＜BP．10．（4分）同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上，请你用数学知识来解释原理：．11．（4分）为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分10分．现从40名同学中随机抽取5名同学的得分，6，8，10，10．该样本的方差为．12．（4分）执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女），北京时间2024年10月29日，3名航天员与中外记者集体见面．如果从2名男航天员1名女航天员中任选2人回答记者问．13．（4分）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，碗中汤面的水平宽度为cm．14．（4分）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为O1，O2，连接O1O2，其中一个正六边形的外接圆与O1O2交于点A．若外接圆O2的半径为2，则O1A＝．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝x+1，与y轴相交于点A，过点A的直线AC与x轴相交于点C（3，0），连接BD，则BD的长为：．16．（4分）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律．17．（4分）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为．18．（4分）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数．若（a，b，c）和，且a≤b≤c，则的取值范围是．三．解答题（满分78分）19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）解不等式组：并写出其整数解．21．（12分）在菱形ABCD中，E，F为线段BC上的点，且CD＝2BE＝4BF，DF交于点G．（1）如图（1）所示，若∠BAE＝∠ADF；（2）连接CG，在图（2）上求作在与（保留作图痕迹即可）．22．（12分）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，请帮帮小强一起解决．问题1．已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形（填序号）①正三角形②正四边形③正五边形④正六边形问题2．小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为，并简要说明理由．23．（12分）如图，△ABC中，D、E分别为AB，满足∠A+∠ABD+∠ACE＝90°，P为BE的中点（1）求证：AE•AB＝AD•AC；（2）当△ADE和△BCD相似的时候，求证：BC＝CE．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．25．（14分）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值”（1）如图1，已知矩形ABCD，△BEF为其“中直三角形”，求：矩形ABCD的“度量值”；（2）如图2，△CEF为▱ABCD的“中直三角形”，其中∠CFE＝90°，求：▱ABCD的“度量值”；（3）在△ABC中，∠A＝90°，，请直接写出以△ABC为中直三角形的平行四边形的“度量值”．

2025年上海交大附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案CDBADC一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是（）A．图形的面积 B．图形的周长 C．角的度数 D．边的长度【解答】解：由题意可知：图形甲和图形乙相似，∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例，∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，周长和边长都被缩小，故选：C．2．（4分）下列事件为必然事件的是（）A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为9、40、41的三条线段可以组成一个直角三角形【解答】解：根据必然事件、不可能事件A．某著名射击运动员射击一次，是随机事件；B．班级里有同年同月同日出生的同学，故选项B不符合题意；C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是不可能事件；D．∵92+403＝412，∴长度为9、40，是必然事件；故选：D．3．（4分）2024年12月4日，我国最隆重最富有特色的传统节日之一的“春节”申遗成功，“春节”被纳入联合国教科文组织非物质文化遗产名录和项目．过春节贴窗花是我国古老的习俗．窗花吉事祥物、美好愿望表现得淋漓尽致，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据轴对称性质逐项分析判断如下：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B．4．（4分）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c），拼成如图2所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c的式子表示）为（）A． B． C． D．【解答】解：设内切圆的半径为r，根据题意得，矩形的面积＝4个全等的直角三角形的面积和＝4×，∵矩形的面积＝（a+b+c）•2r，∴6××ab＝（a+b+c）•3r，∴r＝，∴d＝，故选：A．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），点A（1，0），B（0，2），C（3，0），如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：设点D（m，n）（m＞0，∵A（1，6），2），0），∴OA＝6，OB＝2，AB＝，CD＝，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是直角三角形，∵点D在第一象限内，∴∠COD＜90°，∵以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，∴∠COD＝∠OAB或∠COD＝∠OBA，①当∠COD＝∠OAB时，△COD∽△OAB或△COD∽△BAO，Ⅰ、当△COD∽△OAB时，＝，∴＝，∴m＝3，n＝8或n＝﹣6（舍去），∴D（3，4）；Ⅱ、当△COD∽△BAO时，＝，∴＝，∴m＝，n＝，∴D（，），②当∠COD＝∠OBA时，△COD∽△OBA或△COD∽△ABO，Ⅰ、当△COD∽△OBA时，＝，∴＝，∴m＝8，n＝（舍去），∴D（3，）；Ⅱ、当△COD∽△ABO时，＝，∴＝，∴m＝，n＝（舍去），∴D（，）；∴D（3，6）或（7，，）或（，，故选：D．6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BM是AC边中线，点D，DB＝DE，EF⊥AC于点F；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°﹣x，∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，∵BD＝DE，∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x．∴∠DBM＝∠E，∵AB＝BC，∠ABC＝90°．∴∠BMD＝90°，∵EF⊥AC，∴∠DFE＝90°＝∠BMD，在△BMD和△DFE中，，∴△BMD≌△DFE（AAS）．故①正确；②∵DB＝DE，∴∠BEN＝∠CBD．又∵∠C＝∠NBE＝45°，∴△DBC∽△NEB；而其对应点未写在对应位置上，故②错误；③∵∠ABC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，∵△BMD≌△DFE，∴BM＝DF，∴AC＝8DF．故③正确；④∵∠C＝45°，EF⊥AC，∴∠CEF＝45°＝∠C，∴CF＝EF，∵AB＝BC，∴EF•AB＝CF•BC，故④正确；故选：C．二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：ax4﹣ax2＝ax2（x+1）（x﹣1）．【解答】解：先提取公因式，再利用平方差公式因式分解可得：原式＝ax2（x2﹣2）＝ax2（x+1）（x﹣5），故答案为：ax2（x+1）（x﹣2）．8．（4分）在2024年4月，中国自主研发的第三代超导量子计算机“本源悟空”正式接入国家超算互联网平台，截至10月，正确的是2.7×105．【解答】解：270000＝2.7×102．故答案为：2.7×105．9．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AP＜BP3﹣．【解答】解：∵P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＜BP，∴AP＝3﹣，故答案为：3﹣，10．（4分）同学用两枚钉子就把校运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上，请你用数学知识来解释原理：两点确定一条直线．【解答】解：用数学知识来解释原理就是：两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线．11．（4分）为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分10分．现从40名同学中随机抽取5名同学的得分，6，8，10，10．该样本的方差为3.2．【解答】解：∵，∴该样本的方差是：＝＝＝＝3.2，故答案为：2.2．12．（4分）执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽（女），北京时间2024年10月29日，3名航天员与中外记者集体见面．如果从2名男航天员1名女航天员中任选2人回答记者问．【解答】解：根据题意，画树状图如下：由树状图可知，选中1名男航天员1名女航天员结果有四种，∴恰好选中3名男航天员1名女航天员的概率为．故答案为：．13．（4分）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，碗中汤面的水平宽度为16cm．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2，由条件可得9.7＝a×142，∴，∴抛物线的解析式为，∵9.2﹣6.6＝5.2cm，令，解得x＝±5，碗中汤面的水平宽度为8×2＝16cm，故答案为：16．14．（4分）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为O1，O2，连接O1O2，其中一个正六边形的外接圆与O1O2交于点A．若外接圆O2的半径为2，则O1A＝．【解答】解：将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为O1，O2，如图，连接BO6，BO1，CO2，CO7，∴，∴四边形BO2CO1是菱形，∴∠BO3O1＝30°，BC⊥O2O7，∴，∴，∴，故答案为：．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝x+1，与y轴相交于点A，过点A的直线AC与x轴相交于点C（3，0），连接BD，则BD的长为：．【解答】解：过点D作EF∥x轴，交y轴于E，∵直线AB的解析式为y＝x+1，与x轴相交于点B，∴B点坐标为（﹣1，5）A点坐标为（0，∵△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠AED＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DE＝CF，∴设D（m，﹣m），∵AD＝DC，∴（0﹣m）7+（1+m）2＝（6﹣m）2+（0+m）2，∴m＝1，∴D（1，﹣4），∴BD＝＝．故答案为：．16．（4分）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律81．【解答】解：根据所给图形，观察各方框中数字之间的关系可知：∵9＝（1+5）2，25＝（2+3）2，49＝（3+7）2，∴e＝（4+4）2＝81，故答案为：81．17．（4分）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为y＝．【解答】解：由题意可知当余数是7，8，6时，即人数最小应该增加3，∴推选代表人数，故答案为：．18．（4分）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称（x，y，z）是三角形数．若（a，b，c）和，且a≤b≤c，则的取值范围是．．【解答】解：方法一、∵（a，b，∴a+b＞c．∴b＞c﹣a，∴，∵为三角形数，∴，∴，∴，两边同时乘以a（a＞0），得，，即，化简得，a2﹣3ac+c8＜0，两边除以c2得，，∴∵a≤b≤c，∴，∴；故答案为：＜≤5．方法二、设，∵（a，b，c）为三角形数，∴a+b＞c，∴b＞c﹣a，∴b＞（1﹣k）c，∴，∵为三角形数，∴，∴，∴，化简得，k7﹣3k+1＜7，解得，∵a≤b≤c，∴k≤1，∴，故答案为：．三．解答题（满分78分）19．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式＝＝＝＝＝，当x＝时，原式＝＝﹣＝．20．（8分）解不等式组：并写出其整数解．【解答】解：，解不等式3x﹣2≤6x﹣5得：x≥﹣1，解不等式得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣6≤x＜2，∴整数解为：﹣1，3，1．21．（12分）在菱形ABCD中，E，F为线段BC上的点，且CD＝2BE＝4BF，DF交于点G．（1）如图（1）所示，若∠BAE＝∠ADF；（2）连接CG，在图（2）上求作在与（保留作图痕迹即可）．【解答】解：（1）由条件可知AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，设BF＝a，则BE＝2a，EF＝a，∵AD∥BC，∴△ADG∽△EFG，∴，∴，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠GFE，∵∠BAE＝∠ADF，∴∠BAE＝∠GFE，又∵∠BEA＝∠GEF，∴△EAB∽△EFG，∴，∴5EG2＝3a2，GF＝2EG，∴，，∴，，如图，过点A作AH⊥FD于点H，设GH＝x，则，由勾股定理可得AG6﹣GH2＝AD2﹣HD3＝AH2，∴，解得，∴；（2）如图，取AD的中点Q，过点D作PD∥CG交CQ的延长线于点P，则，即为所求作，理由如下：如图，设GD交PC于点T，∵Q是AD的中点，E是BC的中点，∴AQ＝EC，又∵AD∥BC，∴AECQ是平行四边形，∴PC∥AE，∴，∴DT＝GT，∵PD∥CG，∴∠PDT＝∠CGT，在△PTD和△CTG中，，∴△PTD≌△CTG（ASA），∴PD＝CG，∴四边形PDCG是平行四边形，∴PG∥CD，由菱形性质可知CD∥AB，∴PG∥AB，∴在与方向上的分向量分别为，．22．（12分）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，请帮帮小强一起解决．问题1．已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形③（填序号）①正三角形②正四边形③正五边形④正六边形问题2．小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形；小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为6，并简要说明理由．【解答】解：问题1：①正三角形的内角是60°，60°×6＝360°，不符合题意；②正四边形的内角是90°，60°×2+90°×2＝360°，不符合题意；③正五边形的内角是108°，60°×2+108°×8＝336°≠360°°，符合题意；④正六边形的内角是120°，60°×2+120°×2＝360°°，不符合题意，故答案为：③；问题7：n＝6，理由如下：由题意得，这n个正六边形围成的图形是一个正多边形，围成的这个正多边的每个内角的度数是120°所以，（n﹣2）180°＝120°n，解得n＝8．故答案为：6．23．（12分）如图，△ABC中，D、E分别为AB，满足∠A+∠ABD+∠ACE＝90°，P为BE的中点（1）求证：AE•AB＝AD•AC；（2）当△ADE和△BCD相似的时候，求证：BC＝CE．【解答】（1）证明：延长PO交AC于点H，则PH⊥AC，在△ABC中，∠CBO+∠BCO＝90°，∴BD⊥CE，∵P为BE的中点，∴BP＝OP，∴∠BOP＝∠ABD，∵∠BOP+∠POE＝∠ACE+∠COH＝90°，且∠POE＝∠COH，∴∠BOP＝∠ACE＝∠ABD，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴，即AE•AB＝AD•AC；（2）证明：∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∴∠A≠∠BDC，∵△AED∽△BDC，∴∠A＝∠CBD，∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠CBD+∠ABD＝∠ABC，∴∠BDC＝∠ABC，由条件可知∠BEC＝∠BDC，∴∠ABC＝∠BEC，∴BC＝CE．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x6+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），4），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣6，当x＝0时，y＝﹣7，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）如图3，过点E作EH⊥OC于H，∵点C（0，﹣6），7），0），∴OB＝OC＝6，OA＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6＝＝6，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴＝，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴点E（，﹣）；（3）∵点D的横坐标为d，∴点D（d，d7﹣2d﹣6），（2＜d＜6），如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵＝，∴＝．∵点F在直线BC上，