初中数学4 利用轴对称进行设计教案

初中数学4利用轴对称进行设计教案主备人备课成员教学内容教材：《初中数学》人教版九年级上册

章节：第五章平面几何——第四节的轴对称图形

内容：学习轴对称的概念，了解轴对称图形的性质，掌握轴对称图形的判定方法，并能运用轴对称进行设计。核心素养目标1.培养学生的空间观念，通过轴对称图形的学习，提高学生对几何图形的直观感知和空间想象能力。

2.培养学生的逻辑推理能力，通过轴对称图形的判定和性质，让学生学会运用逻辑思维解决问题。

3.培养学生的几何直观和数学建模能力，通过实际设计问题，让学生学会将数学知识应用于实际问题中。

4.增强学生的数学应用意识，激发学生对数学的兴趣，培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界的意识。重点难点及解决办法重点：1.轴对称图形的判定方法；2.轴对称图形的性质和变换。

难点：1.轴对称图形的判定在实际问题中的应用；2.轴对称变换与图形性质的关系。

解决办法：

1.重点：通过实例讲解和练习，让学生理解并掌握轴对称图形的定义和判定条件。利用多媒体展示轴对称图形的特点，引导学生观察、比较，形成直观印象。

2.难点：设计实际问题，让学生在实际操作中体会轴对称的应用，如设计对称图案、解决现实中的对称问题等。通过小组合作探究，引导学生分析轴对称变换与图形性质的关系，突破难点。此外，教师应注重个别辅导，针对学生个体差异，提供个性化的学习支持。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的《初中数学》人教版九年级上册教材。

2.辅助材料：准备与轴对称图形相关的图片、图表、动画等多媒体资源，以帮助学生直观理解轴对称的概念和性质。

3.实验器材：准备剪刀、彩纸等，用于学生进行轴对称图形的折叠和制作活动。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习；在讲台上准备实验操作台，以便进行现场演示和实验操作。教学过程一、导入新课

（1）教师：同学们，我们之前学习了图形的变换，今天我们将探讨一种特殊的变换——轴对称。请同学们回顾一下我们之前学习的图形变换，思考轴对称图形与这些变换有什么区别？

（2）学生：回顾所学内容，思考轴对称与平移、旋转等变换的区别。

二、新课讲授

1.轴对称的概念

（1）教师：同学们，我们先来了解一下什么是轴对称。请大家打开教材，阅读相关内容，然后回答问题：轴对称的定义是什么？

（2）学生：阅读教材，了解轴对称的定义。

（3）教师：轴对称的定义是什么？请同学们回答。

（4）学生：轴对称是指图形关于某条直线对称，这条直线称为对称轴。

2.轴对称图形的性质

（1）教师：接下来，我们来学习轴对称图形的性质。请同学们打开教材，阅读相关内容，然后回答问题：轴对称图形有哪些性质？

（2）学生：阅读教材，了解轴对称图形的性质。

（3）教师：轴对称图形的性质有哪些？请同学们回答。

（4）学生：轴对称图形的性质有：对称轴两侧的图形完全重合，对称轴上的点到对称轴两侧的对应点距离相等。

3.轴对称图形的判定

（1）教师：那么，如何判定一个图形是轴对称图形呢？请同学们阅读教材，找出判定轴对称图形的方法。

（2）学生：阅读教材，了解轴对称图形的判定方法。

（3）教师：判定轴对称图形的方法有哪些？请同学们回答。

（4）学生：判定轴对称图形的方法有：①观察图形是否有对称轴；②判断图形两侧是否完全重合。

4.轴对称变换

（1）教师：轴对称变换是将图形沿着对称轴进行折叠，使图形两侧完全重合。请同学们思考，轴对称变换与图形性质有什么关系？

（2）学生：思考轴对称变换与图形性质的关系。

（3）教师：轴对称变换与图形性质的关系是什么？请同学们回答。

（4）学生：轴对称变换可以使图形的形状和大小保持不变，只是位置发生变化。

三、课堂练习

1.学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

2.教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结

（1）教师：今天我们学习了轴对称的概念、性质、判定方法以及轴对称变换。请同学们总结一下，轴对称图形有什么特点？

（2）学生：总结轴对称图形的特点，如：有对称轴，两侧完全重合，图形的形状和大小保持不变。

五、课后作业

1.完成教材中的课后习题，巩固所学知识。

2.收集生活中的轴对称图形，思考其在实际生活中的应用。

六、教学反思

（1）教师：通过本节课的学习，学生是否掌握了轴对称的概念、性质、判定方法以及轴对称变换？

（2）学生：回答问题，总结所学知识。

七、教学评价

（1）教师：观察学生在课堂上的表现，了解他们对轴对称知识的掌握程度。

（2）学生：根据教师提问，展示自己的学习成果。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《几何之美》：这本书详细介绍了各种几何图形的性质和应用，包括轴对称图形的深入探讨，适合学生阅读以拓宽视野。

-《生活中的数学》：通过介绍日常生活中的数学应用，如建筑、艺术、设计等领域中的轴对称现象，激发学生对数学的兴趣。

-《数学史上的对称》：介绍数学史上关于对称的研究和发展，让学生了解对称在数学发展中的重要性。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己设计轴对称图案，如对称的服装设计、建筑模型等，将所学知识应用于实际创作中。

-探究不同类型的轴对称图形在自然界和人类文明中的存在，如雪花、蝴蝶翅膀、古建筑等，撰写小论文或制作展示板。

-通过互联网资源，查找轴对称在科学研究和工程技术中的应用案例，如光学中的干涉条纹、机械设计中的对称结构等。

-学生可以参与数学兴趣小组，与其他同学一起讨论轴对称图形的数学性质，尝试解决一些开放性问题。

3.知识点拓展：

-研究不同类型的对称性，如中心对称、旋转对称等，与轴对称进行对比，探讨它们之间的关系。

-探索轴对称图形在二维和三维空间中的不同表现形式，如平面图形的轴对称与立体图形的轴对称。

-学习轴对称变换的数学表达，如坐标变换、矩阵变换等，理解轴对称在数学计算中的具体应用。

-研究轴对称图形在计算机图形学中的应用，如游戏设计、动画制作中的对称图形生成技术。

4.实用性内容：

-学生可以尝试使用轴对称原理来优化日常生活中的设计，如设计一个对称的桌面装饰品，或者创建一个对称的网页布局。

-通过实际操作，如使用软件工具或手工制作，让学生体验轴对称图形的生成过程，加深对对称性的理解。

-组织学生参观艺术展览或建筑工地，观察轴对称在实际作品中的应用，激发学生的创新思维和审美能力。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材中的课后习题，包括判断轴对称图形、绘制轴对称图形、分析轴对称图形的性质等题目。

2.设计一个轴对称图案，可以是几何图形、动物、植物等，要求图案美观、对称性明显。

3.选择一个生活中的物品，分析其是否具有轴对称性，并说明理由。

4.小组合作完成一个关于轴对称图形的探究报告，内容包括轴对称的定义、性质、判定方法以及实际应用。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保每个学生都能得到反馈。

2.对作业中的正确答案给予肯定，对错误答案进行纠正，并说明错误原因。

3.对于设计轴对称图案的作业，评价图案的对称性、创意性和美观度，指出可以改进的地方。

4.对于分析物品轴对称性的作业，检查学生是否能够正确判断物品的对称性，并给出合理的解释。

5.对于小组探究报告，评价报告的结构、内容、逻辑性和创新性，指出报告中存在的问题，并提出改进建议。

6.针对学生在作业中普遍存在的问题，进行集体讲解，帮助学生理解和掌握相关知识点。

7.鼓励学生在课后互相讨论作业中的问题，促进同学之间的学习交流。

8.对于表现突出的学生，给予表扬和奖励，激发学生的学习积极性。

9.对于学习有困难的学生，提供个别辅导，帮助他们克服学习障碍。

10.定期收集学生的作业反馈，了解学生的学习情况，调整教学策略，确保教学效果。典型例题讲解例题1：

已知直线l是等腰三角形ABC的底边BC的中线，且AB=AC。请证明：三角形ABC关于直线l轴对称。

答案：

证明：由于l是BC的中线，所以D为BC的中点，即BD=DC。又因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

作DF垂直于AB于点F，连接AF。

在等腰三角形ABD和ACD中：

1.AB=AC（已知）

2.BD=DC（已知，l是BC的中线）

3.∠BDF=∠CDF=90°（垂直定义）

根据SAS全等条件，可以得出三角形ABD全等于三角形ACD。

因此，AF=AF（全等三角形对应边相等），且∠BAD=∠CAD。

由于AF是直线l的垂线，所以∠BAD和∠CAD是关于直线l的对称角。

因此，三角形ABC关于直线l轴对称。

例题2：

给定一个矩形ABCD，点E是AD上的一点，点F是CD上的一点，且BE=CF。证明：四边形ABEF是平行四边形。

答案：

证明：连接AC和BD，交点为O。

由于ABCD是矩形，所以AB平行于CD，且AD平行于BC。

在△ABE和△CFO中：

1.∠ABE=∠CFO（对顶角）

2.∠BAE=∠FCO（对顶角）

3.BE=CF（已知）

根据SAS全等条件，可以得出△ABE全等于△CFO。

因此，AE=OF（全等三角形对应边相等），且AB平行于CF。

由于AB平行于CD，所以CF平行于AD。

因此，四边形ABEF是平行四边形。

例题3：

已知等腰三角形ABC中，底边BC的中点为D，E是AC的中点，F是BD的中点。求证：AF垂直于BC。

答案：

证明：连接CE，交AF于点G。

由于ABC是等腰三角形，所以AC=BC，且AD是BC的中线。

在△ABD和△ACE中：

1.AD=CE（AD是BC的中线）

2.∠BAD=∠CAE（等腰三角形的底角相等）

3.∠ADB=∠AEC（等腰三角形的顶角相等）

根据SAS全等条件，可以得出△ABD全等于△ACE。

因此，AG=GC（全等三角形对应边相等）。

由于F是BD的中点，所以FG=GB。

因为AG=GC且FG=GB，所以G是FG的中点。

由于AF是三角形ABD的高，所以∠AFG=90°。

因此，AF垂直于BC。

例题4：

已知等边三角形ABC的边长为a，D是BC边的中点，E是AB边的中点。求证：三角形ADE是等边三角形。

答案：

证明：由于ABC是等边三角形，所以AB=AC=BC=a。

因为D是BC的中点，所以BD=DC=a/2。

在△ABD和△ADC中：

1.AB=AC（等边三角形的定义）

2.BD=DC（已知，D是BC的中点）

3.∠ADB=∠ADC（等腰三角形的底角相等）

根据SAS全等条件，可以得出△ABD全等于△ADC。

因此，AD=AD（全等三角形对应边相等）。

因为E是AB边的中点，所以AE=EB=a/2。

因此，AE=EB=AD（三角形ADE的三边相等）。

所以三角形ADE是等边三角形。

例题5：

已知三角形ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，E是AB上的一点，且BE=2ED。求证：三角形AED是等腰三角形。

答案：

证明：连接AD。

由于AB=AC，所以AD垂直于BC（等腰三角形的性质）。

在△ABE和△ADE中：

1.AB=AC（已知，三角形ABC是等腰三角形）

2.∠ABE=∠AED（对顶角）

3.BE=2ED（已知）

在△ABE和△ADE中：

1.AB=AC（已知）

2.∠ABE=∠AED（对顶角）

3.BE=2ED（已知）

根据SAS全等条件，可以得出△ABE全等于△ADE。

因此，AE=AD（全等三角形对应边相等）。

由于AE=AD，所以三角形AED是等腰三角形。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：我在课堂教学中尝试了案例教学法，通过具体的轴对称图形案例，如建筑、艺术作品等，让学生在实践中理解轴对称的概念和性质，这样的教学方法提高了学生的学习兴趣和参与度。

2.小组合作：我引入了小组合作的学习模式，让学生在讨论和互动中共同解决问题，这有助于培养学生的团队协作能力和沟通技巧。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础参差不齐：在课堂上，我发现学生对于轴对称知识的掌握程度存在较大差异，部分学生对概念理解不够深入，这影响了课堂的整体效果。

2.课堂互动不足：虽然我鼓励了学生之间的讨论，但实际操作中，部分学生还是表现出一定的被动性，课堂互动的氛围不够活跃。

3.评价方式单一：我主要依靠作业和测试来评价学生的学习情况，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习过程和学习效果。

反思改进措施（三）

1.针对学生基础参差不齐的问题，我将尝试分层教学，根据学生的不同水平和需求，设计不同难度的教学材料和练习题，确保每个学生都能得到合适的指导。

2.为了提高课堂互动，我计划增加课堂提问和讨论环节，鼓励学生积极参与，通过小组竞赛等形式激发学生的学习热情，同时，我也将加强对课堂纪律的管理，确保讨论氛围的积极向上。

3.在教学评价方面，我将采用多元化的评价方式，除了传统的作业和测试，还包括课堂表现、小组合作、自主学习等多个方面，以便更全面地评估学生的学习成果。同时，我也会定期与学生交流，了解他们的学习感受和需求，以便及时调整教学策略。内容逻辑关系①轴对称的概念

-定义：图形关于某条直线对称，这条直线称为对称轴。

-性质：对称轴两侧的图形完全重合，对称轴上的点到对称轴两侧的对应点距离相等。

②轴对称图形的性质

-对称轴：图形中能