中考数学复习-图形与相似（含答案）

图形与相似典例精练【例1】(2023杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称.设BCAB=k,若AD=DF,则【例2】如图,在△ABC中,AB=25,AC=45针对训练1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC相似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是()A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4)2.(2024乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD相交于点O.若S△ABDS△BCD3.如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是.4.(2023广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为.5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.(1)AC=8,BC=6,AB=,CD=;(2)CD=4,BD=3,BC=,AD=,AC=.6.如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且ADCD=CD7.如图,点D,E,G在△ABC的三边上，DE‖BC,,DE交AG于点F.求证:DF8.(2023邵阳)如图,(CA⟂AD,ED⟂AD,，B是线段AD上一点，且(CB⟂BE.已知ABAB=8,AC=6,DE=4.(1)求证:△ABC~△DEB;(2)求线段BD的长.9.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且.DE⟂CF于点G，求证：DE10.如图,在△ABC中，AB=AC,,BE和CD是△ABC的中线.(1)求证:BE=CD;(2)求OEOB的值.11.如图,在△ABC中，P为边AB上一点.若∠ACP=∠B,求证：A12.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120∘,AB=AC,，D是BC上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE=3如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=(1)若AB=8,求线段AD的长;(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.14.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,N为CD上一点,且(CN:ND=1:3,求证：AM⊥MN.15.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,BE的延长线交AC于点F,求AFFC16.如图，已知锐角△ABC,BC长为12,高AD长为8.矩形PNMQ的边QM在BC上,其余两个顶点P,N分别在AB,AC上,PN交AD于点E.(1)求证:①PE(2)求PNAE(3)若矩形PNMQ为正方形,求PN的值.17.(2024上海)如图,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且.AE(1)求证:A(2)F为线段AE的延长线上一点，连接CF.若EF=CF=12BD,18.(2024湖北)如图,在矩形ABCD中,E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于点H.(1)求证:△EDP~△PCH.(2)若P为CD的中点,且.AB=2,BC=3,求GH的长.(3)连接BG,若P为CD的中点,H为BC的中点,探究BG与AB的数量关系,并说明理由.图形与相似参考答案典例精练【例1】(2023杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称.设BCAB=k,若AD=DF,则【例2】如图,在△ABC中,AB=25,AC=45,BC=6,，M为AB的中点，在线段AC上取一点N,使△AMN与△ABC相似,则线段MN的长为3或针对训练1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC相似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是(C)A.(2,4)B.(4,2)C.(6,4)D.(5,4)2.(2024乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD相交于点O.若S△ABDS△BCD3.如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是14.4.(2023广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为15.5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.2CD=4,BD=3,BC=6.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,且ADCD=CD证明:∵CD是边AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°.又∵:CD=BD,∴△ACD∽△CBD.∴∠A=∠BCD.∵∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.7.如图,点D,E,G在△ABC的三边上,DE∥BC,DE交AG于点F.求证:DF证明:∵DE∥BC,∴△ADF∽△ABG,△AFE∽△AGC.∴DF∴DFBG=8.(2023邵阳)如图,(CA⟂AD,ED⟂AD,，B是线段AD上一点，且(CB⟂BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.(1)求证:△ABC∽△DEB;(2)求线段BD的长.解:(1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°.∴∠C+∠CBA=∠CBA+∠DBE=90°.∴∠C=∠DBE.∴△ABC∽△DEB.(2)∵△ABC~△DEB,∴∴9.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且DE⊥CF于点G,求证:DE证明:∵在矩形ABCD中,∠A=∠CDF=90°,∴∠ADE+∠CDG=90°.∵DE⊥CF,∴∠DCF+∠CDG=90°.∴∠ADE=∠DCF.∴△ADE~△DCF.∴DE10.如图,在△ABC中,AB=AC,BE和CD是△ABC的中线.(1)求证:BE=CD;(2)求OEOB的值.解:(1)证明:∵BE是△ABC的中线,∴AE=同理，AD=12在△ABE和△ACD中{∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE=CD.(2)∵BE和CD是△ABC的中线,∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC,且DE=12∴11.如图,在△ABC中,P为边AB上一点.若∠ACP=∠B,求证:A证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△APC∽△ACB.∴∴12.如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D是BC上的一个动点(不与点B,C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°,求证:△ABD∽△DCE.证明:∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC=120°,∴∠ABD=∠ACB=30°.∴∠ABD=∠ADE=30°.∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB,∴∠EDC=∠DAB.∴△ABD∽△DCE.13.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=(1)若AB=8,求线段AD的长(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.解:(1)∵四边形BFED是平行四边形,∴DE∥BF.∴DE∥BC.∴△ADE△ABC.∴(2)∵△ADE~△ABC,∴∵△ADE的面积为1,∴△ABC的面积为16.∵四边形BFED是平行四边形,∴EF∥AB.∴△EFC△ABC.∴∴△EFC的面积为9.∴14.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,N为CD上一点,且(CN:ND=1:3,求证：AM⊥MN.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠B=∠C=90°.∵M是BC的中点,CN:ND=1:3,∴AB∴△ABM∽△MCN.∴∠BAM=∠CMN.∵∠BAM+∠AMB=90°,∴∠AMB+∠CMN=90°.∴∠AMN=90°.∴AM⊥MN.15.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,BE的延长线交AC于点F,求AFFC解:过点D作DG∥BF交AC于点G.∴CG∵D是BC的中点,∴BD=DC.∴CG=GF.∵E是AD的中点,∴AE=ED.∴AF=FG.∴AF=FG=CG.∴16.如图,已知锐角△ABC,BC长为12,高AD长为8.矩形PNMQ的边QM在BC上,其余两个顶点P,N分别在AB,AC上,PN交AD于点E.(1)求证:①PE(2)求PNAE(3)若矩形PNMQ为正方形,求PN的值.解:(1)证明:由矩形PNMQ得PN∥BC,∴△APE∽△ABD,△APN∽△ABC,△AEN∽△ADC.∴PEBD=(2)∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC.∵AD⊥BC,∴BN=AED.∴(3)设正方形PNMQ的边长为x.∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC.∴AE∴PN=4.8.17.(2024上海)如图,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且AE⊥BD.(1)求证:A(2)F为线段AE的延长线上一点，连接CF.若EF=CF=1证明:(1)在矩形ABCD中,∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC,∴∠ABD+∠ADB=90°.∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°.∴∠ABD=∠DAE.∵∠BAD=∠ADE=90°,∴△ADE~△BAD.∴ADBA=∵AB=DC,∴A(2)连接AC交BD于点O.在矩形ABCD中,∠ADE=90°,则∠DAE+∠AED=90°,∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°.∴∠ADB=∠AED.∵∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC.在矩形ABCD中,OA=OD=∵EF=CF=∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE.∵∠ADO=∠FEC,∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE.在△ODA和△FEC中{∴△ODA≌△FEC(AAS).∴CE=AD.18.(2024湖北)如图,在矩形ABCD中,E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于点H.(1)求证:△EDP∽△PCH.(2)若P为CD的中点,且AB=2,BC=3,求GH的长.(3)连接BG,若P为CD的中点,H为BC的中点,探究BG与AB的数量关系,并说明理由.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°.∴∠1+∠3=90°.∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在DC上,∴∠EPH=∠A=90°.∴∠1+∠2=90°.∴∠3=∠2.∴△EDP∽△PCH.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°.∵P为CD中点,.∴DP=CP=设EP=AE=x,∴ED=AD-x=3-x.在Rt△EDP中,E即x2=3−x∴EP=AE=x=∵△EDP∽△PCH,∴EDPC=∵PG=AB=2,∴GH=PG-PH=3(3)如图,延长AB,PG交于一点M,连接AP.∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对