2024高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系讲义含解析新人教A版必修2

PAGEPAGE13第1课时直线与圆的位置关系[核心必知]1．预习教材，问题导入依据以下提纲，预习教材P126～P128，回答下列问题．(1)怎样用几何法推断直线与圆的位置关系？提示：利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系推断它们之间的位置关系，若d>r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d<r，直线与圆相交．(2)如何用直线和圆的方程推断它们之间的位置关系？提示：①假如直线l和圆C的方程分别为：Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2.可以用圆心C(a，b)到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))与圆C的半径r的大小关系来推断直线与圆的位置关系；②把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0))的解的个数问题，这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组有一组解时，直线与圆相切；方程组有两组解时，直线与圆相交．(3)过平面一点P可作几条圆的切线？提示：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．2．归纳总结，核心必记直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及推断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0[问题思索]用“代数法”与“几何法”推断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示：“几何法”与“代数法”推断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来推断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；_“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．[课前反思]通过以上预习，必需驾驭的几个学问点．(1)直线与圆有哪些位置关系？怎样推断？；(2)怎样解决直线与圆相切及弦长问题？.“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．假如我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，视察下面三幅太阳落山的图片．[思索1]图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：(1)相离；(2)相切；(3)相交．[思索2]结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？提示：3种，分别是相交、相切、相离．[思索3]如何推断直线与圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．讲一讲1．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[尝试解答]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)．当Δ>0，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).当d<2，即m>0或m<－eq\f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d>2，即－eq\f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．推断直线与圆位置关系的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系推断．(2)代数法：依据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来推断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过推断点与圆的位置关系推断，但有肯定的局限性，必需是过定点的直线系．练一练1．已知圆C:x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：选A将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交.讲一讲2．过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．[思路点拨]用待定系数法求解，但千万不要忽视斜率不存在的状况．[尝试解答]∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，∴点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(15,8).所以切线方程为y＋3＝－eq\f(15,8)(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4，综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.圆的切线的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．假如斜率为零或不存在，则由图形可干脆得切线方程x＝x0或y＝y0.(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．特殊留意：切线的斜率不存在的状况，不要漏解．练一练2．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．解：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴eq\f(|－k－7|,\r(k2＋1))＝5.解得k＝eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).∴所求切线方程为y＋7＝eq\f(4,3)(x－1)或y＋7＝－eq\f(3,4)·(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.讲一讲3．直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2＋y2＝25相交截得的弦长为4eq\r(5)，求l的方程．(链接教材P127—例2)[思路点拨]设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求．[尝试解答]据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，法一：联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－5＝kx－5，,x2＋y2＝25.))消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0.又x1＋x2＝－eq\f(10k1－k,k2＋1)，x1x2＝eq\f(25kk－2,k2＋1)，由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2,k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1))))＝4eq\r(5).两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝2符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半．在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×4eq\r(5)＝2eq\r(5)，则|OH|＝eq\r(|OA|2－|AH|2)＝eq\r(5).∴eq\f(|51－k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝eq\f(1,2)或k＝2.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.求直线与圆相交的弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|AB|))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．练一练3．求直线l：3x＋y－6＝0被圆C:x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．解：法一：由直线l与圆C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))消去y，得x2－3x＋2＝0.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(x1－x22＋[－3x1＋6－－3x2＋6]2)＝eq\r(1＋32x1－x22)＝eq\r(10[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(10×32－4×2)＝eq\r(10).∴弦AB的长为eq\r(10).法二：圆C:x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝eq\r(5)，点C(0,1)到直线l的距离为d＝eq\f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),2)，所以半弦长eq\f(|AB|,2)＝eq\r(r2－d2)＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2)＝eq\f(\r(10),2).所以弦长|AB|＝eq\r(10).————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来推断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．本节课要重点驾驭的规律方法(1)直线与圆位置关系的推断方法，见讲1.(2)求圆的切线的方法，见讲2.(3)求直线与圆相交时弦长的方法，见讲3.3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的状况，如讲2、讲3.课下实力提升(二十四)[学业水平达标练]题组1直线与圆的位置关系1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心解析：选D圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝eq\f(|3×1＋4×－1＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(11,5)，0<d<r，所以相交但不过圆心．2．(2024·洛阳高一检测)直线l:y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是()A．相离B．相切或相交C．相交D．相切解析：选Cl过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆肯定相交，故选C.3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满意：(1)相交；(2)相切；(3)相离．解：圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圆的半径r＝2.(1)若相交，则d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m∈(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)．(2)若相切，则d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2).(3)若相离，则d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以m∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))．题组2圆的切线问题4．若直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为()A.eq\r(2)B．±eq\r(2)C．1D．±1解析：选B由题意得eq\f(|a|,\r(2))＝1，所以a＝±eq\r(2)，故选B.5．圆心为(3,0)且与直线x＋eq\r(2)y＝0相切的圆的方程为()A．(x－eq\r(3))2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝3C．(x－eq\r(3))2＋y2＝3D．(x－3)2＋y2＝9解析：选B由题意知所求圆的半径r＝eq\f(|3＋\r(2)×0|,\r(1＋2))＝eq\r(3)，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.6．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．解析：设切线斜率为k，则由已知得：k·kOP＝－1.∴k＝－eq\f(1,2).∴切线方程为x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝07．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.求直线PA，PB的方程．解：切线的斜率存在，设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.圆心到直线的距离等于eq\r(2)，即eq\f(|－k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，故所求的切线方程为y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.题组3圆的弦长问题8．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：选D直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.9．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为eq\r(2)，求直线l的方程．解：由题意，直线与圆要相交，斜率必需存在，设为k.设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)．又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d＝eq\f(|2k－1－2|,\r(1＋k2))＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2).解得k＝1或eq\f(17,7).所以直线l的方程为y＋2＝x＋1或y＋2＝eq\f(17,7)(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.[实力提升综合练]1．已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l:ax＋by＝0与圆x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定解析：选B联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋ax＋by＝0，,ax＋by＝0，))化简得x2＋y2＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))即直线l与圆只有一个公共点(0,0)，因此它们相切，故选B.2．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12解析：选D因为直线3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，所以eq\f(|3＋4－b|,\r(32＋42))＝1⇒b＝2或12，故选D.3．(2014·浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8解析：选B圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1,1)到直线x＋y＋2＝0的距离为eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由22＋(eq\r(2))2＝2－a，得a＝－4.4．若点P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0D．x－y－3＝0解析：选D圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，又直线AB过点P，所以直线AB的方程为x－y－3＝0.5．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是____________________．解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，则d＝eq\f(|2－6－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此时，直线方程为：4y－3x－27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意．答案：4y－3x－27＝0或x＝－16．直线l:y＝x＋b与曲线C:y＝eq\r(1－x2)有两个公共点，则b的取值范围是________．解析：如图所示，y＝eq\r(1－x2)是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y＝x＋b是一个斜率为1的直线，要使两图有两个交点，连接A(－1,0)和B(0,1)，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l的b值，当直线l与AB重合时，b＝1；当直线l与半圆相切时，b＝eq\r(2).所以b的取值范围是[1，eq\r(2))．答案：[1，eq\r(2))7．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r(7)，求圆C的方程．解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋12))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10，①eq\f(