2024-2025学年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质练习含解析新人教A版必修5

PAGE1-第10课时等差数列的性质学问点一等差数列的性质的运用1．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根答案A解析由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A．2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45答案B解析a2＋a3＝2a1＋3d＝13，又a1＝2，∴d＝3．∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3(2＋12)＝42．3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq\f(1,2)a8的值为()A．4B．6C．8D．10答案C解析由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－eq\f(1,2)a8＝eq\f(1,2)(2a7－a8)＝eq\f(1,2)(a6＋a8－a8)＝eq\f(1,2)a6＝8．4．下列命题中正确的个数是()(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2肯定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2肯定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差数列．A．4个B．3个C．2个D．1个答案B解析对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错误；对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b．∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；对于(4)，a＝b＝c≠0⇒eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，(4)正确，综上选B．5．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________．答案18解析a5＋a8＝a2＋a11＝a3＋a10，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18．学问点二等差数列性质的综合运用6．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6＝()A．8B．6C．4D．3答案D解析由等差数列的性质可知，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6(a3＋a9)＝6×2a6＝12a6＝36，∴a6＝3．故选D．7．设公差为－2的等差数列{an}，假如a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于()A．－182B．－78C．－148D．－82答案D解析a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82．8．已知数列{an}满意a1＝1，若点eq\f(an,n)，eq\f(an＋1,n＋1)在直线x－y＋1＝0上，则an＝________．答案n2解析依题意得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，∴数列eq\f(an,n)为等差数列，且公差d＝1．又eq\f(a1,1)＝1，∴eq\f(an,n)＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n2．9．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．答案15eq\r(3)解析不妨设∠A＝120°，c<b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos120°＝eq\f(b2＋b－42－b＋42,2bb－4)＝－eq\f(1,2)，解得b＝10，所以S＝eq\f(1,2)bcsin120°＝15eq\r(3)．易错点忽视等差数列性质的本质10．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a4＞a2，则a5＝________．易错分析等差数列的“下标和”性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．而学生易错算为am＋an＝am＋n导致结果算错．答案13解析∵a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a3＋a4＝a2＋a5，∴2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17．又a2·a5＝52，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4，))又a4＞a2，∴a4－a2＝2d＞0，∴d＞0，∴a5＞a2，∴a5＝13．一、选择题1．若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有()①{an＋an＋1}；②{aeq\o\al(2,n)}；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤{2an＋n}．A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析设等差数列{an}的公差为d．对于①，(an＋an＋1)－(an－1＋an)＝(an－an－1)＋(an＋1－an)＝2d(n≥2)，∴{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列；对于②，aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1－an)(an＋an＋1)＝d(an＋an＋1)≠常数，∴{aeq\o\al(2,n)}不是等差数列；对于③，∵an＋1－an＝d，∴{an＋1－an}为常数列；∴{an＋1－an}为等差数列；对于④，∵2an＋1－2an＝2d，∴{2an}为等差数列；对于⑤，(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2d＋1，∴{2an＋n}为等差数列．故选D．2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为()A．14B．15C．16D．17答案C解析由题意知5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16．3．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40＝()A．40B．70C．80D．90答案D解析在等差数列中，间隔相等的项成等差数列，∴a10＝30，a20＝50，a30＝70，a40＝90．故选D．4．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为()A．18B．9C．12D．15答案D解析设这7个数分别为a1，a2，…，a7，易知a4是3与27的等差中项，∴a4＝eq\f(3＋27,2)＝15．5．已知数列{an}满意a1＝15，且3an＋1＝3an－2．若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝()A．24B．23C．22D．21答案B解析由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－eq\f(2,3)，所以数列{an}为首项a1＝15，公差d＝－eq\f(2,3)的等差数列，所以an＝15－eq\f(2,3)(n－1)＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)，则由ak·ak＋1＜0得ak＞0，ak＋1＜0，令an＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)＝0得n＝eq\f(47,2)，所以a23＞0，a24＜0，所以k＝23．故选B．二、填空题6．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x＝________．答案log25解析由题意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5，即x＝log25．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案5解析易推断中位数1010是首项和末项的等差中项，故首项为2×1010－2015＝5．8．若{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为________．答案－eq\f(1,2)解析∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8．代入a1＋a5＋a9＝π，得eq\f(3,2)(a2＋a8)＝π，∴a2＋a8＝eq\f(2π,3)，从而cos(a2＋a8)＝－eq\f(1,2)．三、解答题9．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1．(1)求{bn}的通项公式；(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．解(1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3．(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7．∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4，∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．10．已知等差数列{an}，设bn＝eq\f(1,2)an，已知b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求数列{an}的通项公式．解∵b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，bn＝eq\f(1,2)an．∴eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a3＝eq\f(21,8)，∵b1b2b3＝eq\f(1,8)，∴eq\f(1,2)a1·eq\f(1,2)a2·eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,8)，∴eq\f(1,2)a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3．又∵a1，a2，a3成等差数列，可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1．由eq\f(1,2)1－d＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)1＋d＝eq\f(21,8)．∴eq\f(\f(1,2),\f