九年级中考2025年安徽中考数学真题汇编 专题11 二次函数

专题11二次函数课标要求考点考向1.

函数图象性质理解：通过图象了解二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性、最值等。能从图象中分析出函数在不同区间的变化情况等。2.

表达式形式转化：会用配方法将二次函数一般式化为顶点式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，理解不同形式的二次函数表达式（如一般式、顶点式、交点式）的特点和用途，能根据已知条件灵活选择合适的表达式来解决问题。3.

方程近似解求解：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能根据二次函数图象与x轴的交点情况判断一元二次方程根的情况。4.

函数的确定与应用：运用待定系数法求出二次函数的表达式。能运用二次函数的知识解决实际问题，通过建立二次函数模型，分析和解决问题。5.

数学思维与能力培养：在学习二次函数的过程中，培养数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。能够从实际问题或数学情境中抽象出二次函数的数学模型，解决与二次函数有关的问题二次函数考向一二次函数图像与性质考向二二次函数图像与系数关系考向三求二次函数解析式考向四二次函数平移二次函数的应用考向一二次函数与一元二次方程考向二二次函数与不等式考向三二次函数的实际应用考向四二次函数与一次函数的几何综合考点一二次函数►考向一二次函数图像与性质解题技巧/易错易混1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．3.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.4.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.一、单选题1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．①当时，抛物线的对称轴是轴；②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；③若点，在抛物线上，则；④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则．►考向二二次函数图像与系数关系解题技巧/易错易混二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交一、单选题1．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（

）①②③对任意实数m，均成立④若点，在抛物线上，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（

）①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．45．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①

②（m为任意实数）

③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个►考向三求二次函数解析式1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；2．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数．(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．(2)如果当时，的最大值为4，求的值．(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．(1)求b、c的值；4．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；5．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．(1)求b的值；6．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；7．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；►考向四二次函数平移一、单选题1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则．3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是（填写序号）．三、解答题4．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；(2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由；(3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：．考点二二次函数的应用►考向一二次函数与一元二次方程解题技巧/易错易混1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．一、单选题1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（

）

A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是32．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．二、填空题4．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是．5．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为．

6．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．7．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．►考向二二次函数与不等式一、单选题1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当x>1时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为．►考向三二次函数的实际应用1．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）(3)①与x的函数关系式是______；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．2．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)．(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？3．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．【探索发现】（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．【问题解决】（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）4．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．(1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度；(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．5．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：水平距离0341015202227竖直高度03.244.168987.043.24(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．6．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．►考向四二次函数与一次函数的几何综合1．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；(3)如图点F1,0，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)已知直线与，轴分别相交于点，．①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为，则_________；②求t的取值范围：③求的最大值．4．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．(1)求抛物线的表达式．(2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．(3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．5．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．(1)求a，c的值；(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数（为常数，），当时，，则的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．2．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，DE．若，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则下列结论正确的是(

)A． B． C． D．4．（2024·安徽六安·模拟预测）抛物线经过点和，若，则b的值为（

）A．8 B．16 C．24 D．325．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数a，b，c满足，，，则（

）A．， B．，C．， D．，6．（20-21九年级上·安徽六安·期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接分别是上的点，且的面积为y，的长为x，则y关于x的函数关系式的图象大致是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如，都是“相反点”．已知二次函数，请完成下列问题：（1）若，则此二次函数上的“相反点”为．（2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为．8．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数．（1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为；（2）当时，函数有最小值，则m的值为．三、解答题9．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点C0,−3．(1)求的值及点的坐标；(2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标．10．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，某跳水运动员在跳台上进行跳水训练，在跳某个规定动作时，根据已建的平面直角坐标系，运动员在空中最高处的坐标为，点A的横坐标为，最后到入水点D．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）；(2)正常情况下，运动员在距水面高度之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距的水平距离为，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．11．（2024·安徽·三模）抛物线交x轴于，，交y轴于点C，点E为对称轴l与x轴的交点，点P为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：(2)求面积的最大值；(3)点Q为l上一点，连接，若，，求m的值．12．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．(1)如图1，求的值及直线的解析式；(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．13．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．(1)分别求出点，的坐标（用表示）；(2)证明：函数与的图象相交于，两点；(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．14．（2024·安徽池州·模拟预测）（改编）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，且抛物线的顶点，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；(3)如图3，在某一时刻，经过A点的太阳光线恰好照射到C点处，此时大棚截面的阴影为，求的长．15．（2024·安徽合肥·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于．(1)若点的坐标为．①求抛物线的函数表达式；②点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于．若，求点的横坐标；(2)设，经过，两点的直线为，当为何值时，函数取最大值？16．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（b和c是常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且，．(1)求b，c的值；(2)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点（不与点B，C重合），过点P作轴于点D，与交于点Q．若，求点P的坐标；(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为3，求此时m的值．17．（2024·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，交轴于点，直线经过点(1)求，的值；(2)将平移，平移后点仍在抛物线上，记作点，此时点恰好落在直线上，求点的坐标．

专题11二次函数课标要求考点考向1.

函数图象性质理解：通过图象了解二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性、最值等。能从图象中分析出函数在不同区间的变化情况等。2.

表达式形式转化：会用配方法将二次函数一般式化为顶点式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，理解不同形式的二次函数表达式（如一般式、顶点式、交点式）的特点和用途，能根据已知条件灵活选择合适的表达式来解决问题。3.

方程近似解求解：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能根据二次函数图象与x轴的交点情况判断一元二次方程根的情况。4.

函数的确定与应用：运用待定系数法求出二次函数的表达式。能运用二次函数的知识解决实际问题，通过建立二次函数模型，分析和解决问题。5.

数学思维与能力培养：在学习二次函数的过程中，培养数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养。能够从实际问题或数学情境中抽象出二次函数的数学模型，解决与二次函数有关的问题二次函数考向一二次函数图像与性质考向二二次函数图像与系数关系考向三求二次函数解析式考向四二次函数平移二次函数的应用考向一二次函数与一元二次方程考向二二次函数与不等式考向三二次函数的实际应用考向四二次函数与一次函数的几何综合考点一二次函数►考向一二次函数图像与性质解题技巧/易错易混1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．3.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.4.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.一、单选题1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶二次函数的对称轴为y轴，开口向上，∴当时，y随x的增大而增大，∵点都在二次函数的图象上，且，∴，故选∶A．2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，∵，，，而，，，∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，∴；故选：D．二、填空题3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．①当时，抛物线的对称轴是轴；②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；③若点，在抛物线上，则；④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．【答案】①④/④①【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断．【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确；∵此抛物线与轴只有一个公共点，∴方程的有两个相等的实数根，∴，解得：，故②错误；∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵，∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，∵点，在抛物线上，且，∴，故③错误；∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标在直线上，如图，过点A作直线于点B，则点，，，∴是等腰直角三角形，∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确．故答案为：①④4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可．【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，∴轴，且，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：．►考向二二次函数图像与系数关系解题技巧/易错易混二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交一、单选题1．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（

）①②③对任意实数m，均成立④若点，在抛物线上，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，∴，，，∴，∴，故①正确；∵二次函数的图象与x轴相交于点，，∴二次函数的对称轴为直线，，，由得：，∵，∴，∴，即，故②错误；当时，二次函数有最小值，由图象可得，对任意实数m，，∴对任意实数m，均成立，故③正确；∵点，在抛物线上，且，∴，故④错误；综上所述，正确的有①③，共个，故选：B．2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断．【详解】解：由题图可知，，，故①正确；当时，，即，故②正确；二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5，多项式，故③错误；当时，有最大值，即，当时，抛物线与直线的图象无交点，即关于x的方程无实数根，故④正确．综上，①②④正确．故选：C．3．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（

）①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：由题意，∵有两实根，．∴得，．∴，故①正确．，∴抛物线的对称轴是直线．∴抛物线的顶点为．又，∴，即．∴．∴．∴顶点坐标为，故②正确．∵，∴．又，，∴，故③错误．，，∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．∵，抛物线的对称轴是直线，又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，，，∴，故④错误．综上，正确的有①②共2个．故选：B．4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.【详解】解：①函数图象开口方向向上，；对称轴在轴右侧，、异号，，∵抛物线与轴交点在轴负半轴，，，故①错误；②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，，，时，，，，，故②正确；③对称轴为直线，，最小值，，∴，故③正确；④，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，，，，，，，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；【详解】解：①抛物线开口向上，，，∴当时，，故①不符合题意；②∵抛物线过点，∴函数的最小值，∴有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；③∵，，∴抛物线的对称轴为直线，且，∴，而，∴，∴，故③不符合题意；④∵抛物线过点，∴，∵x=−1时，，即，当时，，∴，∴，∴，故④符合题意；⑤∵，，∴，由根与系数的关系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合题意；故选：C．6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①

②（m为任意实数）

③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下∴∵对称轴为直线，∴∴∵抛物线与轴交于正半轴，则∴，故①错误，∵抛物线开口向下，对称轴为直线,∴当时，取得最大值，最大值为∴（m为任意实数）即，故②正确；∵时，即∵∴即∴，故③正确；∵、是抛物线上不同的两个点，∴关于对称，∴即故④不正确正确的有②③故选：B►考向三求二次函数解析式1．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；【答案】(1)【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；2．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数．(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．(2)如果当时，的最大值为4，求的值．(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．【答案】(1)(2)，(3)或【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；（2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案；（3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案；【详解】（1）解：该抛物线经过点解得顶点坐标为（2）解：对称轴为，函数图象开口向上，当时，取最大值4解得，（3）解：当，当时，当交点在线段之间时，当时，解得；当时，解得；综上，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．(1)求b、c的值；【答案】(1)（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；【详解】（1）解：当时，；当时，，则，，则，解得：；4．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；【答案】(1)，【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；【详解】（1）解：抛物线过点得解得抛物线的表达式为顶点；5．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．(1)求b的值；【答案】(1)【分析】（1）用待定系数法求解即可；【详解】（1）解：二次函数与轴交于，，解得：；6．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可；【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，，解得，该抛物线的解析式为：；（2）解：二次函数中，令，则，，设直线的解析式为：．将，代入得到：，解得，直线的解析式为：，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，，，，点在直线下方的抛物线上，；7．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．(1)求抛物线的表达式；【答案】(1)；（1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式；【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，∴，解得，∴，∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，∴即►考向四二次函数平移一、单选题1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．【详解】解∶抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为，∴新抛物线的顶点坐标为，故选∶D．二、填空题2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则．【答案】1【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：，令，则，或，解得：或，，故答案为：1．3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是（填写序号）．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到，当时，，平移后的函数的图象经过原点，故①正确；当时，则，令，即，，抛物线与直线没有交点，抛物线开口向上，当时，这个函数的图象在函数图象的上方；故②正确；二次函数是常数），开口向上，对称轴为直线，当时，函数值随自变量增大而增大，故③错误；，顶点为，，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题4．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；(2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由；(3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：．【答案】(1)2，(2)，理由见解析(3)证明见解析【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．（1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得；（2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得；（3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且，∴将点代入得：，解得，则化成顶点式为，故答案为：2，．（2）解：，理由如下：∵抛物线经过点，∴，∵，∴，即，二次函数的对称轴为直线，，∴，∴，又∵，∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，又∵抛物线的开口向上，∴．（3）证明：若，则，将向上平移4个单位得到新抛物线，∵抛物线与直线交于点，∴设点的坐标为，将代入得：，∴，∵点为中点，∴，轴于点，，∴，，∴．考点二二次函数的应用►考向一二次函数与一元二次方程解题技巧/易错易混1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．一、单选题1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（

）

A．二次函数图象的对称轴是直线B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C．当时，y随x的增大而减小D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．【详解】解∶∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；设二次函数解析式为，把代入，得，解得，∴，当时，，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，故选D．2．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，∴，，∵抛物线与轴有两个交点，∴，∵抛物线的顶点为，∴，观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．3．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得解得．故选：A．二、填空题4．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是．【答案】【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围．此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得，∵与x轴有公共点，∴，即，解得，故答案为：．5．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为．

【答案】【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得x=−1或，从而即可得解．【详解】解：把点，点代入抛物线得，，解得，∴抛物线，令，得，解得x=−1或，∴，∴；故答案为：．6．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，∴没有实数根，∴，．故答案为：．7．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②若，则；③若，则关于x的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是（填写序号）．【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据−1,1，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过−1,1得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解．【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过−1,1，两点，且．∴对称轴为直线，，∵，∴，故①错误，∵∴，即−1,1，两点之间的距离大于又∵∴时，∴若，则，故②正确；③由①可得，∴，即，当时，抛物线解析式为设顶点纵坐标为∵抛物线（a，b，c是常数，）经过−1,1，∴∴∴∵，，对称轴为直线，∴当时，取得最大值为，而，∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；④∵，抛物线开口向下，点Ax1,y1，Bx2,又，∴点Ax1,∴对称轴解得：，故④正确．故答案为：②③④．►考向二二次函数与不等式一、单选题1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；③当x>1时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确．【详解】解：由图可得：，对称轴，，，①错误；由图得，图象经过点，将代入y=ax2+bx+c可得，，②正确；该函数图象与轴的另一个交点为，且，对称轴，该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当x>1时，随着的增大而减小，③正确；，，关于的一元二次方程的根为，，，，④正确；，即，解得，即，，，⑤正确．综上，②③④⑤正确，共个．故选：．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．二、填空题2．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正确；∵，，，∴，当时，，∴，∵，∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为，又∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，∵与时函数值相等，等于，∴当时，的取值范围为，故错误；∵，∴点，关于对称轴对称，∴，故正确；由得，即，画函数和图象如下：由，解得，，∴，，由图形可得，当或时，，即，故错误；综上，正确的结论为，故答案为：．►考向三二次函数的实际应用1．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）(3)①与x的函数关系式是______；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．【答案】(1)(2)(3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；(4)4【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可；（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；（4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案．【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为，把代入中得，∴，∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，故答案为：；（2）解：由题意得，（3）解：①把代入中得：，解得，∴；②∵，，∴，∵，且（x为正整数），∴当时，有最大值，最大值为4800，∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；（4）解：当时，则，∴，∴，∴，∵x的正整数解有4个，∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．2．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)．(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？【答案】(1)，(2)(3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键．（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式；（2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值；（3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值．【详解】（1）解：，，，；（2），，，，当时，，，，，当时，矩形实验田的面积能达到；（3），当时，有最大值．3．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．【探索发现】（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______．（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．【问题解决】（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）；当取得最小值时；（4）【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；（4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解．【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．正方形草坪的面积．故喷洒覆盖率．（2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．（3）如图所示，连接，要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．∴都经过正方形的中心点，在中，，，∵∴，在中，∴∴∴当时，取得最小值，此时解得：（4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆，则当时，圆的内接正方形的边长为而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．4．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．(1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度；(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为(2)【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．（1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可；（2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围．【详解】（1）由题意得：整理得，当时，则，解得：．，不符合题意，舍去，该商场建造的隔热层厚度为6．（2）由（1）得，，．，随的增大而增大，当时，，解得；当时，，解得；的取值范围为．5．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：水平距离0341015202227竖直高度03.244.168987.043.24(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．【答案】(1)抛物线的表达式(2)水火箭距离地面的竖直高度米【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可；由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，则抛物线的表达式，（2）解：由题意知，则，那么，水火箭距离地面的竖直高度米．6．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．【答案】(1)(2)(3)这棵树的高为2【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可．【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点，把点代入中，得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：由（1）得：，∴抛物线最高点对坐标为；（3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，∵，，∴，∴，又∵点B是的三等分点，∴，∵，∴，，∴，解得，∴，解得，∴点C的横坐标为1，将代入中，，∴点C的坐标为，∴，∴，答：这棵树的高为2．7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．【答案】(1)(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析(3)这条钢架的长度为米【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，得：，即，，水滑道所在抛物线的解析式为；（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，，人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，则，即或（舍去，不符合题意），点，，，，此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，令，即，（舍去，不符合题意）或，，设所在直线的解析式为，将代入得：，解得：，所在直线的解析式为，如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，联立，即，整理得：，该钢架与水滑道有唯一公共点，，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，，，，，这条钢架的长度为米．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．►考向四二次函数与一次函数的几何综合1．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；(3)如图点F1,0，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式；（2）令，可得B4,0，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可；（3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为−2,3或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案．【详解】（1）解：把点代入，得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：令，则，解得：，，点的坐标为，当时，，点的坐标为，，，，根据题意得，点的坐标为，则，把代入，得：，点的坐标为，设直线的解析式为y=kx+bk≠0，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为：，当时，，点的坐标为，，，又轴，∴轴，，，，，又，，解得：，（不合题意，故舍去），∴的值为；（3）解：存在，点的坐标为或或或，理由如下：设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，的解析式为：，当时，，点的坐标为，又点是轴上方抛物线上的一点，当时，，解得：，，点的坐标为−2,3或，分情况讨论：当点的坐标为−2,3时，，点的坐标为或；当点的坐标为时，，点的坐标为或；综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，