函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类-2025年高考数学一轮复习

专题04函数奇偶性'单调性、周期性'对称性归类

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题型一：奇偶性基础..............................................................................1

题型二：单调性基础..............................................................................3

题型三：周期性基础..............................................................................4

题型四：中心与轴对称应用：左右平移..............................................................5

题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型............................................................6

题型六：中心与轴对称应用：轴对称型..............................................................7

题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称............................................................7

题型八：中心与轴对称应用：中心对称..............................................................8

题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和........................................................9

题型十：中心与轴应用：“隐对称点”.............................................................10

题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”.........................................................10

题型十二：函数型不等式：“优函数”型...........................................................11

题型十三：类周期型函数.........................................................................12

题型十四：“放大镜”函数类周期性质.............................................................13

良突围・檐:住蝗分

题型二「奇偶性基础

指I点I迷I津

判定函数的奇偶性的常见方法：

(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证

“T)=±〃X)货等价形式“T)土"X)=0是否成立；

(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，可得函数为

偶函数；

(3)性质法：设/(力心(力的定义域分别为与2,那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论

(在定义域内)：

1.加减型：

奇+奇一奇

偶+偶T偶

奇-奇T奇

偶-偶一偶

奇+偶-＞非

奇-偶一非

2.乘除型(乘除经验结论一致)

奇X+奇一＞偶

偶X+偶一偶

奇X+偶一＞奇

奇X+偶X+奇一＞=偶

简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变

3.上下平移型：

奇+c—＞非

偶+c—＞偶

4.复合函数：

若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则/侬切为奇函数

若fix)为奇函数，g(x)为偶函数，则/[g(x)]为偶函数

1.(2023•全国•高三专题练习)若〃尤)，g(x),M力分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下

列函数不是偶函数的是()

A.y=/(g(x))/z(x)B.y=/(g(x))+/7(x)

c.y=/(〃(x))g(x)D.J=/(x)|g(x)|/z(x)

2.(2023・全国・高三专题练习)函数/。)的定义域为口，＞=/(工)+26，是偶函数，1=70)-3/是奇函数，贝"(x)

的最小值为()

A.eB.75C.2A/2D.2亚

3.(2023春・湖北武汉•高三武汉市开发区一中校考阶段练习)已知/(%)名(无)是定义域为R的函数，且/⑴

是奇函数，g(x)是偶函数，满足〃x)+g(x)=/+x+2,若对任意的1＜X,＜X2＜2,都有㈤＞一3

成立，则实数。的取值范围是()

A.|U[0,+＜»)3

B.—,+00

4

D.

ox-h

4.（2023•吉林延边•高三延边二中校考开学考试）函数/（耳==2是H的奇函数,〃力是常数.不等式

2+a

f（院3。+f3-9,-2）<0对任意*eR恒成立,求实数上的取值范围为

A.k<2s[l-\B.-272-1<^<272-1

C.左<一1D.-1K左<20-1

5.（2023秋・山西•高三校联考期中）已知函数〃%）=（x+a-2乂必+。—1）为奇函数，则/⑷的值是（）

A.0B.-12C.12D.10

6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（)

eTccosx+x2ex-xsinx+4x

A.B.y=---------C.D.y=----——

>x2+ly=~n|r1

x+le

题型二：单调性基础

指I点I迷I津

单调性的运算关系：

①一般认为，一式龙）和心均与函数7U）的单调性工晅;

J\x）

②同区间，?+?=?_-1+曰_,TLT=J_；

单调性的定义的等价形式：设xi，x^[a,b],那么有:

增函数；

Xi-X2

\，J\I—减函数

Xl-X2

（3）复合函数单调性结论：同增异减.

1.（21-22高三•全国•课后作业）如果函数/（x）在[o,句上是增函数，那么对于任意的X],x2^[a,b]（x]HX2）,

下列结论中不正确的是()

A〃再)-〃％)>0

xl—x2

B.(xi—X2)\f(xi)—f(x2)]>0

C.若M<X2,则/(a)</(x])</(X2)</(b)

玉-x2

D，"xj-y(尤2)>°

2.(23-24高三・福建厦门•模拟)已知定义在R上的奇函数AM满足①，(2)=0；②”,%e(0,+co),且占R%，

龙2〃龙2>0,贝的解集为()

/一项％

A.(-j—2)U(2,E)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-s,-2)U(0,2)D.(-2,0比(2,+8)

3.（22-23高一上•重庆沙坪坝•期末）已知_y=〃尤+1）为偶函数，若对任意。/€口,内），（。中与，总有

qf⑸+⑻（a）<qf（a）+时⑸成立,则不等式〃2x）<〃4）的解集为（）

B.(-2,2)

12

D.

353

4.(22-23高三・浙江•模拟)设AM,g(x)都是。上的单调函数，有如下四个命题，正确的是()

①若/(©单调递增,g(x)单调递增,则/(x)-g(x)单调递增;

②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则/(X)-g(无)单调递增;

③若单调递减,g(x)单调递增,则/(x)-g(x)单调递减;

④若单调递减,g(x)单调递减,则/(x)-g(无)单调递减.

A.①③B.①④C.②③D.②④

5.(23-24高三•河北邢台•阶段练习)已知定义在(0,+“)上的函数满足*2)=4,对任意的e(O,y),

且玉片马，/^［/'(3+”用卜片"用+琮〃玉)恒成立，则不等式〃x-3)>2x-6的解集为()

A.(3,7)B.(-℃,5)C,(5,+00)D.(3,5)

题型三：周期性基础

指I点I迷I津

周期性

①若於+a)=A无一6)令/⑴周期为T=a+b.

②常见的周期函数有：

/x+a)=—/(x)或=f或/x+a)=—，那么函数/(x)是周期函数，其中一个周期均为T=2a.

/\Ji7I\Ji7

1.(22-23高三•重庆沙坪坝•模拟)函数的定义域为R,且〃。户。.若对任意实数七y都

有了(尤)+/")=2/［亨宁］,则*2020)=()

A.近B.-1

C.0D.1

2.(2023高三・全国・专题练习)定义在R上的非常数函数满足：〃10+x)为偶函数，且/(5-x)?(5+x),则

外可一定是()

A.是偶函数，也是周期函数

B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数

D.是奇函数，但不是周期函数

3.(23-24高三•湖南衡阳•阶段练习)已知函数“X)满足/。)=1,对任意实数尤，y都有

2023

—y)=『(x+y)成立，则()

m=\

A.-2B.-1C.2D.1

4.(22-23高三安徽•阶段练习)已知〃尤)是定义在R上的函数，〃尤)=；1且〃2)=2+6，则

7(2022)=()

A.2-73B.73-2C.2+6D.-2-石

5.(21-22高三・贵州六盘水・)函数〃力的定义域为尺，若/(x+2)=霁m且7(5)=-2,则以1103)=()

A.2B.-2C.-3D.3

题型四：中心与轴对称应用：左右平移

指I点I迷I津

图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移

(1)平移变换：上加下减，左加右减

(2)对称变换

关于X轴对称

®y=f(x)・y=—")；

关于y轴对称

②y=/U)-y=»—x)；

关于原点对称

③y=#x)fy=-N—x)；

x

@y=a(a>0且a^l)—关于7.%对称，=10£/(。>0且*1).

保留%轴上方图象

⑤尸危)

将%轴下方图象翻折上去-y=l")|.

保留y轴右边图象，并作其

⑥y=A龙)----------------------------Ay=*xl)・

关于y轴对称的图象

1.(2023・四川南充•阖中中学校考模拟预测)设函数/(%)的定义域为R,/(x+1)-3为奇函数，/(x+2)为

2023

偶函数，当x£［l,2］时，/(%)=加+尻若/(-L)+/(O)=l,则F)

2

1152

A.B.C.D.

121263

2..(2023・全国•高三专题练习)已知/(力-1为R上的奇函数，〃%+2)为R上的偶函数，且当九句0,2］时,

2

/(x)=x+l,若［=/("),ft=/(log2ll),。=/(2")，则〃，b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

3

3.(2023•贵州毕节,统考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,/(x+3)为偶函数，/(3彳+万)为奇函数,

则()

A./(-4)=0B./(-1)=0C."3)=0

D."6)=0

4.(2023•陕西・统考二模)己知〃x)是定义在R上的奇函数，若小+£|为偶函数且川)=3,则/(2022)+

〃2023)=()

A.3B.-5C.-3D.6

5.（2022秋・河南•高三校联考阶段练习）已知函数/（无）的定义域为R,若“1-%）为奇函数，〃彳-1）为偶

函数.设/（一2）=1,则〃2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型

指I点I迷I津

带系数：系数不为1,类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移

平移变换：左右或者上下

y（0（x+a）+e）左加右减

1.（2023•宁夏吴忠・统考模拟预测）己知了（力是定义域为R的函数，7（》-2）为奇函数，为偶函数，

则有①”无）为奇函数，②"X）关于4-1对称，③关于点（TO）对称，@/（-2）=0,则上述推断

正确的是（）

A.②③B.①④C.②③④D.①②④

2.（2022秋・河北•高三校联考阶段练习）设函数〃力的定义域为R,且/（丁+2）是奇函数，/（3x+l）是偶

函数，则一定有（）

A./（4）=0B./（-1）=0

C."3）=0D."5）=0

3.（2023春•四川泸州•高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数/（元）满足/'（3x+l）是

奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（）

A.〃尤）的图象关于直线》=-1对称B.〃力的图象关于点（1,0）对称

C./（-3）=1D.〃尤）的一个周期为8

4.（2023秋•湖北恩施•高三校联考模拟）已知函数及其导函数r（x）的定义域都为R,且/（3-2x）为偶

函数，/'（x+2）为奇函数，则下列说法正确的是（）

A.B./（2）=0

C./（2023）+/（2022）=0D./（2023）+.f（2022）=0

5.（2022秋•湖北襄阳•高三襄阳五中校考阶段练习）已知〃尤）及其导函数尸（x）的定义域均为R,若“1-2x）

8

为奇函数，/'（2x-l）为偶函数.设/（0）=1,则£尸（2左）=（）

k=\

A.-1B.0C.1D.2

题型六：中心与轴对称应用：轴对称型

指I点I迷I津

和定为轴

1、f(a+x)=f(a-x)，则对称轴x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，则对称轴x二竺P

2

3、f(x)=f(2a-x),则对称轴x二a

1.(2023上•山东济宁•高三统考期中)已知函数〃x)=(x+a)log2y关于直线x=b对称，则2"+2=_____

4-x

2.(2023上•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习)己知定义在R上的函数y=满足〃2+x)"(2-x),

若方程y(x)=o有且仅有三个根，且尤=。为其一个根，则其它两根为.

3.(2023下•黑龙江七台河•高二勃利县高级中学校考期中)已知函数"X)满足/(©=/(兀-尤)，且当

时，f(x)=x+sinx,设(2=〃1),6=/(2),°=/(3),则a,b,c的大小关系是.

4.(广东省七校联合体2020-2021学年高二下学期2月联考数学试题)若函数/。)=Y-〃忖+*+。有且

11X+1

只有一个零点，又点P(3a,l)在动直线m(x-l)+n(y-l)=0上的投影为点M,若点N⑶3),那么|脑V|的最小

值为.

5(四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考).已知

〃x)=J^+cosx(xeR),VXG[1,4],“痛-lnx—2),,2/(2)-〃2+lnx—〃国，则实数m的取值范围

是(J

ln21+1M2~|「11l〃2]「山21ln2~\「Il+ln2

A.—,---B.-,l+—C.—,l+—-D.---

题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称

指I点I迷I津

轴变换，又叫直线镜面变换：

xfV

y=f(x)ny=x对称"

*'yfx

-引申：y=x+b(必须斜率是k=l,就是直线反解)对称丫上

yTx+b

1.(2023上,辽宁大连•高三大连八中校考阶段练习)已知函数y=/(x)的图像与函数g(无)=弓厂的图像关于

直线y=x对称，则函数y=/(2x-尤2)的单调递增区间是.

2.(2023・高三单元测试)函数y=/(x)与y=g(x)的图象关于直线y=X对称,“X)=f_2x+2(xV0),则

g(5)=.

3.(2022下•辽宁•高二瓦房店市高级中学校联考模拟)已知函数〃3x+l)是定义在R上的奇函数，函数/(x)

的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)+g(-x)=.

4.(2023上•上海闵行•高三校联考期中)设曲线C与函数/(尤)=<xVf)的图像关于直线y=瓜对称,

设曲线C仍然是某函数的图像，则实数f的取值范围是.

5.(2022•湖南永州•统考三模)已知直线/：y=3x+2,函数”x)=lnx-ax+g,若外力存在切线与/关于直线

y=x对称，则”.

题型八：中心与轴对称应用：中心对称

"旨I点I迷I津

中心对称：

(1)若函数“X)满足〃a+x)+/(ar)=2b,则〃尤)的一个对称中心为(“⑼

(2)若函数“X)满足〃2ar)+“x)=M,则/(尤)的一个对称中心为(a,6)

(3)若函数〃x)满足/(2a+x)+/(-x)=»,则的一个对称中心为(a,b).

函数变换，又叫原点变换：

y=f(X)=原点对称=<Xf*

:引申：关于点(a,b)对称，贝I)]'-2a-x

y

花<,荻三一百一漉二5&~一事奉嵩三不孽制7-殍羸三茨丽云薮厚一正施丁巨而通破

/(x)=ln(Vx2+l-x)+3-工-3、，不等式/(0G+4)+f(x2+5)„0对xeR恒成立，则«的取值范围为()

A.[-2,+oo)B.(-℃,-2]C.一|■，+D.^-oo,-|-

2.(四川省达州市大竹县大竹中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题)已知函数

/(x)=log2(V177+%)--？-+2,xeR,若三6使关于8的不等式

『(2sin。-cos。)+/(4-2sin6-2cose-〃z)<2成立，则实数机的范围为.

22

将ax+«+Inf\Jx+1+x）4.、息-咕不息i咕不浦「1alrm”入71Vl的拈

3.函数〃R=__________''।4＞右〃尤）最大值为M，最小值为N,ae[l,3],则M+N的取值

X?+1（2

范围是.

4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校2022-2023学年高三数学试题）已知函数/（%）（%£氏）满足

/（-%）=2-/（^）,若函数y=：—与尸/⑴图像的交点为。,m），®，%），…&），%），则2a+%）=

X,=1

5.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三模拟检测2数学试题）已知函数〃同=炉一（、+1.若

存在me（l,4）使得不等式/（4-^）+/（m2+3时＞2成立，则实数。的取值范围是.

题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和

指I点I迷I津

类比正弦：

①两中心（上0）,他,0）,1=m-,

!③一个中心(a,0),一条轴x==|a-6|

1.(2022了泰惠州•模拟)已知Ax)是定义在R上的奇函数，且/(2—x)^(R,若〃d=3,则/(1)+/(2)+

“3)+...+/(2018)=()

A.-3B.0C.3D.2018

2.(2022•广西南宁•一模)定义在R上的偶函数Ax)满足:对任意的实数x都有/(I-尤)=/(x+1),且/(-1)=2,

/(2)=-1,则〃1)+/(2)+/(3)+3+/(2017)的值为()

A.2017B.1010C.1008D.2

3.(2023•山东•一模)已知，(x)是定义在R上的奇函数，且/(尤+1)为偶函数，若/'(-1)=2,则

")+/(2)+〃3)+L+/(2019)=()

A.4B.2C.0D.-2

4.(22-23高三上糊南永州・阶段练习)已知定义在尺上的奇函数〃力满足/(*+1)+/(3-》)=0,若"1)=2,

则/(1)+f(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.-2B.0C.2D.2020

5.(2023•广东梅州•三模)已知函数是定义在R上的奇函数，〃1-20为偶函数，且=则

|/(-10)|+|/(-9)|+...+|/(0)|+|/(1)|+-+|/(9)|+|/(10)|=()

A.10B.20C.15D.5

题型十：中心与轴应用：“隐对称点”

指I点I迷I津

两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解,

具有综合性，难度较大.

1.（21-22高三•云南红河•模拟）对于函数>=/（尤），若存在%,使得A%）=-/（-%）,则称点（%,/（毛））与

点（-%/（-%））是函数y=/（x）的一对"隐对称点”，若函数」『十?"（],存在"隐对称点”，则实数

[nuc+2,x>0

机的取值范围是（）

A.12-2A/^,0）B.co,2—2^/2JC.-8,2+2A/5]D.（0,2+2行]

2.（2022广西柳州•一模）已知函数/（x）=lnx+V与且（无）=_%3一"的图像上存在关于丁轴对称的对称点，则

实数〃的取值范围是（）

11

A.a<—B.a>—C.a<eD.a>e

ee

3.（2022辽宁沈阳•模拟预测）函数与g（x）=f-1的图象上存在关于元轴的对称点，则实数〃的取

值范围为（）（e为自然对数的底）

A.a<0B.a<1C.a<lD.a>l

4.（2023•河北衡水•一模）若函数>=/（x）图象上存在两个点A,区关于原点对称，则对称点（AB）为函数

y=/（%）的〃挛生点对〃，且点（AB）对（B,A）与可看作同一个〃挛生点对〃.若函数

f2,x<0

/«=3乙2C。、八恰好有两个''挛生点对〃，则实数〃的值为

[-d+6%—9x+2—之0

A.0B.2C.4D.6

5.（22-23高三下•上海宝山•期中）若存在，£尺与正数优，使/。-咽=/。+附成立，则称”函数/（%）在x=Z

处存在距离为2%的对称点”.设=（x>0）,若对于任意此（0,述），总存在正数%使得“函

X

数,。）在兀=，处存在距离为2%的对称点”，则实数％的取值范围是…

A.（0,2]B.（1,2]C.[1,2]D.[1,4]

题型十一：双函数型中心'轴互相“传递”

指I点I迷I津

双函数性质：

1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质

2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系

传遹中心，对称轴，与周期

若函数〃尤)关于x轴对称，关于9,0)中心对称，则函数〃尤)的周期为4卜一。|,

若函数/(X)关于％轴对称，关于x=b轴对称，则函数“X)的周期为2卜-。|,

若函数关于(a,0)中心对称，关于他,0)中心对称,则函数外力的周期为2kH.

1.(22-23高三上•江西•阶段练习)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且满足

60

“X)-g(2-x)=4,g(x)+y(x-4)=6,g(3-x)+g(x+l)=0,贝0/(")=()

n=l

A.-3180B.795C.1590D.一1590

2.(23-24高三上•辽宁•阶段练习)2知函数〃力,g(4的定义域均为R,且/(%)+g(2-%)=6,

18

g(x)-/(x—4)=4,若g(x)的图像关于X=2对称，g(2)=3,则>；“/：)=()

k=l

A.14B.16C.18D.20

3.(2023•辽宁・模拟预测)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,/(x+1)是奇函数，且〃1)+g(x)=2,

/(x)+g(x-3)=2,则下列结论正确的是.(只填序号)

2020

①/(X)为偶函数；②g(x)为奇函数；③>>(%)=40；④>>㈤=40.

k=lk=\

4.(2023•河南•模拟预测)已知〃尤)为定义在R上的奇函数，g(x)是〃尤)的导函数，/(1)=1,

g(2-x)+g(x)=0,则以下命题：①g(x)是偶函数；②g(l)=0；③〃力的图象的一条对称轴是x=2；

2022

其中正确的序号是.

1=1

5.(2023・四川南充・二模)设定义在R上的函数〃X)和g(x).若〃x)-g(4-x)=2,g(x)=/(x-2)-2,且

/(x+2)为奇函数,则/(1)+/(2)+〃3)+…+/(2023)=.

题型十二：函数型不等式：“优函数”型

指I点I迷I津

有/(X+y)<(或>)/(X)+/(y)或者/(x)<(或»(x)+/(t),则称"X)为优函数。

类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。

1.(2024年高考1卷)已知函数为/(X)的定义域为R,/(九)>/(X—1)+/(X—2),且当％<3时/(%)=X,

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2021・四川德阳•一模)已知函数/(无)=一":，若以eR,/(x2-3x)-/(-x)+f{x-«)>/(%),则实

冗+71

数。的取值范围是()

A.(1,+QO)B.(-l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,-l)

3.(2020高三•全国•专题练习)已知是定义在R上的函数，/(1)=1,且对任意xeR都有：

/(x+5)N/(x)+5与/(+1)4。(力+1成立,若g(x)=/(x)+l—x,则g(2017)=.

4.(22-23高二上•上海浦东新•开学考试)设〃尤)是定义在Z上的函数，且对于任意的整数“，满足

/(«+4)-/(«)<2(77+1),/(«+12)-/(71)>6(«+5),/(-1)=-505,则的值为._________.

289

5.(22-23高三•北京顺义•模拟)如果函数/(力满足对任意s,le(0,+8),有/(s+。<f(s)+/«),则称“x)

为优函数.给出下列四个结论：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)为优函数；

②若为优函数，则”2023)<2023/⑴；

③若为优函数，则/(x)在(0,+8)上单调递增；

④若F(x)=/皿在(0,+8)上单调递减，则f(x)为优函数.

X

其中，所有正确结论的序号是.

题型十三：类周期型函数

指I点I迷I津

局部周期：

2x,(x<0

1、f(x)=<

f(x-1),(x>0)

2x,(x<0

2、f(x)=<

f(x-1)+b,(x>0)

/(x),|x|<8

1.(2023•上海•统考模拟预测)〃%)在R上非严格递增,满足〃%+l)=〃％)+l,g(%)=

/(x-(2),|x|>8'

若存在符合上述要求的函数“力及实数与，满足且(%+4)=屋%)+1,则〃的取值范围是.

2.(2021下•天津武清・高二天津市武清区杨村第一中学校考期末)已知函数/(%)='WXT)-，04X<2,若

〔/(x-2),x>2

对于正数K(〃£N*),直线y=&x与函数/(%)的图像恰好有2〃+1个不同的交点，贝!J

左;++•••+左;=.

©+a,X-0,且方程f(x)=x恰有两解.则实数a的取值范围是

3.已知/(%)=

/(%-1),%>0,

,/、X2,-1<X<1,、

4.(2023上•四川资阳•高三统考模拟)已知函数〃X)={。，函数/(无)在x=x°处的切线为/,

J(%—2),1<无<3

若:<与<：,则/与“X)的图象的公共点个数为_______.

65

5.(福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题)定义在[0,+8)上的函数/(X)满足/(>)=

[X2,XG.[0,1)

17(%-1)-2,%£[1,+00),

(i)/(2021)=.

(ii)若方程/Q)-kx=。有且只有两个解，则实数上的取值范围是.

题型十四：“放大镜”函数类周期性质

指I点I迷I津

形如f(tx)=mf(x)等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析:

1.是从左往右放大，还是从右往左放大。

2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有0。

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移。

4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。

1.已知函数/(久)={/：以;当［一I二］时，f(x)=f(-x),当X6R时，/(%+4)=2/(%),

若关于久的方程/O)在区同［0,5］上《有三个不同的实数解，则实数小的取值范围是.

2.(山西省朔州市怀仁市第一中学2022届高三下学期第二次模拟数学(理)试题)己知Ax)是定义在R上

2M-1,0<X<2

的奇函数，当尤>0时，fM=<I,若关于元的方程"(尤)］2一(〃+1)/(%)+。=0(〃£即恰有4

—y(x-2),x>2

个不相等的实数根，则这4个实数根之和为()

A.-4B.4C.8D.T或8

3.(上海市杨浦区统考2023届高三上学期考试数学试题)已知定义域为(0,+s)的函数Ax)满足：对任何

(0,+s),都有〃3x)=3f(x),且当xe(l,3］时，f(x)=3-x,在下列结论中，正确命题的序号是

①对任何meZ,都有/(3帆)=0；

②函数AM的值域是［0,+8);

③存在/Z,使得/(30+l)=17；④“函数AM在区间上单调递减”的充要条

件是“存在左eZ,使得(a,6)a优3A+1)”；

4.(湖南省衡阳市第八中学2022届高三第三次月考数学试题)定义在(。,内)上的函数“X)满足：对

Vxe(O,y),都有〃2x)=2/(x),当x«l,2］时，/(x)=2-x,给出如下结论，其中所有正确结论的序号

是：—.①对VmeZ,有/⑵)=0；

②函数〃尤)的值域为

③存在〃eZ,使得八2"+1)=9；

sin7rx,xG［0,2］

5.(上海市交大附中2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题对于函数/(%)=i

下列5个结论正确的是(把你认为正确的答案全部写上).

(1)任取冷当e［0,y),都有1(%)-/(豆归2；

(2)函数了=/(力在［4,5］上单调递增；

(3)f(x)=2回(x+2k)(KeN),对一切尤e［0,4w)恒成立;

(4)函数y=/(x)-In(xT)有3个零点;

(5)若关于x的方程〃力=；九(机<。)有且只有两个不同的实根为，%,则玉+遍=3.

专题04函数奇偶性'单调性、周期性'对称性归类

空盘点•置击看考

目录

题型一：奇偶性基础..............................................................................1

题型二：单调性基础..............................................................................3

题型三：周期性基础..............................................................................4

题型四：中心与轴对称应用：左右平移..............................................................5

题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型............................................................6

题型六：中心与轴对称应用：轴对称型..............................................................7

题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称............................................................7

题型八：中心与轴对称应用：中心对称..............................................................8

题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和........................................................9

题型十：中心与轴应用：“隐对称点”.............................................................10

题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”..