河南省郑州市2025届高三下学期第二次质量预测数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省郑州市2025届高三下学期第二次质量预测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，所以.故选：B2.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为（）A.21 B.21.5 C.22 D.22.5【答案】B【解析】，则样本数据的60%分位数为.故选：B.3.已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，则，，所以，所以，所以该圆锥的体积为.故选：C4.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，所以，即，故．故选：D.5.函数与函数的图象交点个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】通过五点法作出周期函数的图象，再通过两点法作出单调函数的图象，因为，所以通过图象可判断它们有个交点，故选：A.6.某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种；若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种，故不同的安排方法共有种.将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校，若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种；若教师人数为，则不同的安排方法种数为：种，故不同的安排方法共有种.所以所求事件的概率为.故选：A7.已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，∵，∴，，如图：设点为与圆的切点，则，，∴，则，，∴直线，联立方程组，即，解得（舍去）或，∴，∴，∴.故选：C.8.已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，当时，则恒成立，在上单调递减，由一次函数与函数一定存在交点可知函数存在零点，即存在，使得时，，时，，不符合题意，舍去.当时，设直线为函数切线，设切点为则，即，则，，①当时，函数存在两个零点，令，则，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；故，∵，∴，即恒成立.此时无法满足题意，舍去；②当时，由①可知，，满足，③当时，恒成立，要使得恒成立，则需要恒成立，由①得，∴，即.综上所述.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知复数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】ABC【解析】设，则复数在复平面内对应点，设，则，同理，∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径，∴短半轴，∴点的轨迹方程为：，A选项：，A选项正确；B选项：，B选项正确；C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确；D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误.故选：ABC.10.在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则（）A.过点有且只有一条直线与直线和都相交B.过点有且只有一个平面与直线和所成角相等C.过，，三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为D.点是正方形内的动点，，则点的轨迹长度【答案】AD【解析】对于A，点直线，点直线，点与直线确定平面，点与直线确定平面，平面与相交，该交线过点且与直线和都相交，A正确；对于B，由正方体的结构特征知，与平面都成角，则过与平面平行的平面与直线和所成角相等；直线和都平行于过与直线垂直的平面，该平面与直线和所成角相等，B错误；对于C，取中点，连接，由是棱的中点，得，四边形是过三点的正方体截面，周长为，C错误；对于D，连接，由平面，平面，则，而，平面，于是平面，又，因此平面，又平面，则点的轨迹为平面与平面的交线，所以点的轨迹长度为，D正确.故选：AD11.已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（）A.B关于点中心对称C.关于轴对称D.【答案】ABD【解析】对于A，由可得；对于B，由可得，即，所以关于点中心对称，故B正确；对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误；对于D，由中令可得，设，①又，②由①②可得，所以，即，所以，所以所以，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________．【答案】或（答案不唯一，写出任意一个即可）【解析】设，则根据条件有，即.从而只要满足或即可.故答案为：或（答案不唯一，写出任意一个即可）.13.设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】由，得为的中点；又，所以，所以；设，由双曲线的定义，得，，所以，从而，所以；由直线的斜率为，得又，在中，，即；在中，由余弦定理，得，即，整理得，解得，所以.故答案为：14.已知正四棱锥的底面边长与高均为2，设是正方形及其内部的点构成的集合，点是正方形的中心，若集合，则直线与平面所成角的正切值的最小值为________．【答案】2【解析】如图，在正方形内，分别是的中垂线在正方形内部分，由，则点在五边形及其内部，同理，，，点在相应的五边形及其内部，综上，点在正方形及其内部，可设与平面所成角为，由图可得：，因为，所以要让最小，只需最大，由几何关系可知点在正方形的顶点时，，此时取得最小值2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．（1）根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．近视人数未近视人数合计户外活动时间不足2小时35户外活动时间超过2小时55合计60（2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率．参考公式与数据：，其中．0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列联表如下：近视人数未近视人数合计户外活动时间不足2小时351045户外活动时间超过2小时253055合计6040100零假设为：学生患近视与户外活动时间长短无关．根据列联表中数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．（2）设事件“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，事件“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则，，且，，则，所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为．16.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，，边上的中线，相交于点．（i）求；（ii）求．解：（1）由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴．∵∴，即．（2）（i）∵，∴．（ii）在中，由余弦定理得，即（法一）由题知是的重心，∴，∴，在中，由余弦定理得．（法二）又，∴．∴．17.已知函数，．（1）若，求曲线的斜率为1的切线方程；（2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围．解：（1）当时，，则，即，令，则，令，得，令，得，所以，故有且仅有，，此时，所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程，该切线方程为．（2）由得，即，所以没有整数解，设，，设，，所以单调递增，且，，所以存在唯一的，使，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以当时，，所以当时，没有整数解，即没有整数解．18.已知等差数列的前项和为，且，，．（1）求的通项公式；（2）设其中是正整数．（i）求，，，；（ii）求．解：（1）由题意得，解得，∴的通项公式为.（2）（i）∵其中是正整数，∴，，，.（ii）．．19.若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的大小；（3）在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于，两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值．（1）证明：连接，，，，因为，，所以，四边形为平行四边形，又，，所以，所以四边形为菱形，所以，同理，四边形为菱形，，又因为四边形为菱形，，交于一点，所以平面．（2）解：如图，将该三棱锥补全