河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（六）（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（六）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，若为实数，则（）A.2 B.5 C.3 D.1【答案】B【解析】因为复数为实数，则，即得，则.故选：B.2.设集合，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知，由，可得，所以．故选：A.3.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得，所以的最小正周期为．故选：C4.过原点且与曲线相切的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】设切点，因为曲线，所以，所以，所以，所以或，当时，所以，所以切线方程为，即；当时，所以，所以切线方程为，即；当时，所以，所以切线方程为，即；所以切线有3条.故选：C.5.已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由在上单调递增，则值域为，由对称轴为，当时，开口向上，则，显然成立；当时，在上单调递增，且，显然成立；当时，开口向下，则，则；综上，.故选：D6.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2【答案】D【解析】下图所示为l的斜率大于0的情况．如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．设，，则．而，所以，l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，可求得，可求得l斜率为，同理，l的斜率小于0时，其斜率为．故选：D7.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（）A.1 B.2C. D.【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，因此，，．记，，则，因为在上递减，且，，所以存在唯一的满足，即，且当时，，则在单调递增，当时，，则在单调递减，故是的极大值点，也是最大值点．此时．故选：D8.已知，，则的最大值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】由①，令，，则①式，所以的最大值为，，所以，令，当，即时，，此时①式，即，综上，，时目标式取最大值为1.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆，则（）A.的取值范围为 B.若的焦点在轴上，则C.若，则的焦距为6 D.若，则的离心率为【答案】CD【解析】由题设，可得，A错；若的焦点在轴上，则，可得，B错；若，则的焦距为，C对；若，则的离心率为，D对.故选：CD10.已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（）A.97200的素因数为2，3，5B.97200不同的正因数有96个C.在小于30的非负偶数中有3个完全数D.在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为【答案】AD【解析】由，即97200的素因数为2，3，5，A对；由题设，97200不同的正因数有个，B错；由，，，，，，，，，，，，，，，综上，只有是完全数，共2个，C错；由C分析知，15个数中有2个完全数，故随机选两个数中至少有一个完全数的概率为，D对.故选：AD11.已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，，．记的轨迹分别为，，且与所封闭的面积分别为，则（）A.为圆 B.最大值的最小值为C. D.的最大值为【答案】ABD【解析】A项，点到定点距离为定值，为以为圆心，为半径的圆，故A正确；B项，由A项，可设，又，可设，则，由，得，，则，，当时，等号成立，故的最大值为.记则，令得，则当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以，最大值的最小值为，故B正确；C项，由，可知在以为圆心，为内径，为外径圆环上，即轨迹为，则.设，则，故在上单调递增，则，即，则，由，则，故C错误；D项，由题意可得，则，设，则，令，解得，则当时，，在上单调递增；当时，，上单调递减；，所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，且，则正数______．【答案】2【解析】由题设，又，所以，可得，又，故.故答案为：213.记为正项数列的前项和，，为等比数列，则______．【答案】【解析】由题设，可得，即，又为等比数列，若公比为，则，故，所以，则，所以.故答案为：14.已知事件A，满足，，，则的取值范围为______．【答案】【解析】因为，，所以，所以，又，所以，设，则，所以，所以设，所以，令，则，令，得，得，又，即，符合题意，令，解得；，解得，所以在单调递增，在单调递减，所以，取得最大值，所以，的取值范围为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求面积的最大值．解：（1）因为，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又因为，所以．（2）因为且，由余弦定理得，即又因为，当且仅当时，等号成立，即，解得，所以的面积，即面积的最大值为．16.氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022．计算得，，．（1）是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用折线图和相关系数加以说明；（2）是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由．附：相关系数，．解：（1）从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系．因为，所以该组数据的相关系数．，因而可以用线性回归模型拟合与的关系．（2）可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下：①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续（1）中的线性趋势，故可以用（1）中的回归模型进行预测；②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，但从长期角度看很有可能会变化，因而用（1）中的回归模型预测是不准确的．17.如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接，又，分别为棱，的中点，所以且，又底面是矩形，即且，所以且，即为平行四边形，故，由平面，平面，故平面；（2）解：记为的中点，作，因为是正三角形，所以，面面，面面，面，所以面，则为直线与底面所成角，易知面，面，则，所以可构建如图示的空间直角坐标系，设，，则，，，，，所以，，，若分别为面、面的一个法向量，则，取，则，，取，则，由二面角为，则，所以或，当时，，所以为等边三角形，且，，所以，即，，所以二面角为，故不合题设，即（经验证满足题设），故.18.（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为；（2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程；（3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点．（1）证明：若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为，联立，所以，则，所以，整理得，因为点在双曲线上，所以，所以，则，所以，则，由，则，即，所以，显然切线的斜率不存在时，即切线过双曲线顶点也满足，得证；（2）解：由题意，设，其焦点坐标为，设与双曲线的切点为，则切线方程为，联立，可得，即，同理，所以，，则，而，故，即所求等轴双曲线的方程；（3）解：由（2）双曲线为，若，则，所以过点作直线的垂线为，即，令，则，即，令，则，即，联立，可得，同理，综上，、的中点坐标均为，即是点，所以四点共圆，易知圆的方程为，显然原点恒在圆上，得证.19.对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列．（1）若数列是－数列，且，，直接写出，，的值；（2）若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性；（3）能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？解：（1），.（2）采用数学归纳法证明，当时，，显然存在，假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得，当时，设是满足的最大正整数，则，因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾），且由归纳假设可以表示成的形式，其中互不相邻且与也不相邻（因为，所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和；再证明唯一性：假设，不妨设，设，根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定，从最大项开始分析，若，不妨设，则，因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以，去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且；（3）首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合，根据－数列的递推公式，则，，，,，以此类推可得，然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推，则是以4为首项的数列构成的集合，即，再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,，那么是以7为首项的数列构成的集合，即，按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项