河北省秦皇岛市2025届高三第一次模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省秦皇岛市2025届高三第一次模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8、5、7、5、8、6、8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A.、 B.、 C.、 D.、【答案】D【解析】将数据由小到大进行排列为：、、、、、、，因此，这组数据的众数为，中位数为.故选：D.2.二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将，化为抛物线的标准方程，当时，，得到，由抛物线的准线方程为；当时，，得到，由抛物线的准线方程为；综上：其准线方程.故选：C.3.设等差数列的前项和，若，，则（）A.18 B.27 C.45 D.63【答案】C【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列，即，解得.故选：C4.某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A.30 B.60 C.120 D.180【答案】B【解析】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安排方法数为.故选：B.5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，则有：，，，所以，又因为，即，，可得：，解得，故离心率为．故选：B．6.在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，，，则，得，，即,则在上的投影向量为，，所以在上的投影向量为.故选：C7.函数，若，则的最小值为（）A. B.4 C. D.1【答案】C【解析】因为的定义域为，，所以在为增函数，，所以，又，在为增函数，所以，即，因为，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C8.正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为正三棱柱中，为的中点，取中点，连接，如图，以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，因为是棱上一动点，设，且，因为，所以，于是令，.所以，.又因为函数在上为增函数，所以当时，即线段长度的最小值为当时，，即线段长度的最大值为，所以线段长度的取值范围为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的实部为B.的虚部为C.满足：复数对应的点所在区域的面积为D.对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为【答案】AC【解析】由，则，所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误；因为，则，设，则，即，所以复数对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域（包括圆），则所在区域的面积为，故C正确；如图，对应的向量为，则向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为，故D错误.故选：AC.10.在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（）A. B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A：，由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，，，故A正确；对于B：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故B正确；对于C：由B知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错；对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确；故选：ABD.11.在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（）A.圆上有且仅有两个点到直线的距离为B.已知点，圆上的动点，则的最小值为C.过点作圆的一条切线，切点为可以为D.过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点【答案】ABD【解析】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，由，如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；选项B，设点关于直线的对称点，则，解得，即，则，即的最小值为，故B正确；选项C，由切点为，则在中，，当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为，此时最小，最小值为，即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；选项D，设点，切点，可得切线方程为，由点在切线上，得，同理可得，故点都在直线上，即直线的方程为，又由点在直线上，则，代入直线方程整理得，由解得，即直线恒过定点，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，则___________．【答案】【解析】因为，又，所以.故答案为：13.若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____．【答案】【解析】由，可得，即，令，则又在区间内没有零点，则区间内不存在整数，又，则正数ω满足，则，则，解之得，则正数ω的取值范围是.故答案为：14.若函数的图象关于对称，则__________，的最小值为______________．【答案】①.②.【解析】因为函数的图象关于对称，令，可得，可得或，由对称性可知，方程的两根分别为、，由韦达定理可得，可得，所以，，则，所以，函数的图象关于直线对称，则，因为，令，令，所以，.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在及处取得极值．（1）求a，b的值；（2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．解：（1）∵，∴，由已知得，是的两个根，故，解得，；此时，则，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.可知和均为极值点，符合题意，，.（2）由（1）得，，结合（1）可知，该函数的零点为，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.∴的极小值为，极大值为，若方程有三个不同的实根，只需，解得，∴a的范围是.16.某学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得20分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为20，30，40的3个问题中随机选两题作答，每答对一题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分，则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对两个问题；在类的3个分值分别为20，30，40的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一轮的得分分别为，.（1）分别求，的概率分布列；（2）分别计算甲、乙晋级复赛的概率，并请说明谁更容易晋级复赛？解：（1）由已知得，，，，，所以的分布列为02040由已知得，，所以，.所以的分布列为2040（2）甲在第二轮得分分类如下：选20分和30分的题所得分数为20分和50分，选20分和40分的题所得分数为20分和60分，选30分和40分题所得分数为0分、30分、40分和70分，乙在第二轮得分分类如下：选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，选20分和40分的题所得分数为0分、20分、40分和60分，选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，由已知及（1）得，甲两轮的总积分不低于90分的概率为；乙两轮的总积分不低于90分的概率为，因为，所以甲更容易晋级复赛.17.如图，在四棱锥中，点为的中点，底面，平面平面．（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为底面，且底面，所以，如图所示，过点作垂足为，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以（2）解：因为且，在直角中，可得又因为，所以，因为，在中，可得,又因为，所以，由且，所以为等腰直角三角形，可得，所以，即，因为底面，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，又因为点为的中点，所以，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上.为原点，且．（1）若点为的中点，求的长度；（2）过作直线与的右支交于两点，当的面积为时，求直线的方程．解：（1）因为，所以，又因为，所以，又由双曲线的定义可知，所以，又因为为的中点，为的中点，所以．（2）根据题意，可设直线联立方程化简得，由题意可知，且，设，所以，所以所以.令，解得（舍）或．当时，，所以直线或．19.数列：满足：，，或1．对任意，，都存在，，使得，其中且两两不相等．（1）若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2；（2）记，若，求的最小值；（3）若，求的最小值．解：（1）结合数列的定义，对①，，不满足，故①不符合；对②，当时，存在，同理当时，存在，当时，存在，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）当时，设数列中1，2，3出现的频次为，由题意知，，假设时，，（对任意）