上海市长宁区2025年高考数学二模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市长宁区2025年高考数学二模试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知非零实数a>b，则下列命题中成立的是(

)A.a2>b2 B.ab>2.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x(千元)和书籍销量y(百本)的情况进行了调研，并统计得到如表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=1.2x3456y56.27.4mA.变量x、y之间呈正相关

B.预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本

C.m=8.8

D.3.如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点(不与C重合)，将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是C1连接A.存在点D和θ，使得DC1⊥AC B.存在点D和θ，使得BC1⊥AC

C.存在点D和θ4.椭圆具有如下光学性质：如图，F1(−c,0)，F2(c,0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点，从点F1发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F2，有以下两个命题：

①若A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A=(−2,1)，B6.复数z1=2−3i，z27.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a6=178.某水果店的苹果，60%来自A基地，40%来自B基地，A基地苹果的新鲜率为90%，B基地苹果的新鲜率为85%，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是9.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断______原假设H0.10.已知随机变量X的分布是−101141411.已知log189=a，18b=5，用a、12.顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比φ，用黄金比φ表示cos36°13.一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于3n，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为______．14.已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且AE=2，B15.现有一块正四面体木料PABC，其边长为3，现需要将木料进行切割，要求切割后底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于7，则切割好后，木料体积的最大值是16.已知函数y=f(x)和y=g(x)，其中f(x)=log2x，且y=g三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知向量m=(sinx+cosx,2sinx)，n=(s18.(本小题14分)

如图，在直三棱柱ABC−A′B′C′中，AB⊥AC，AC=AB=2，AA′=219.(本小题14分)

为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元(含800元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)．

方案1：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元(即总共减650元)；

方案2：从装有5个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．

(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；

(2)顾客B恰好消费了800元，

①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望(结果精确到0.01)；

②20.(本小题18分)

已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线Γ的离心率e=2，b=23．

(1)求双曲线Γ的方程；

(21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)的定义域D⊆R，对任意实数a，定义集合Qf(a)={x|f(x)≤a,x∈D)}．

(1答案和解析1.【答案】D

【解析】解：对于A，令a=1，b=−1，满足a>b，但a2=b2，ab<b2，ab无意义，故ABC错误，

y=2.【答案】C

【解析】解：对于A，由线性回归方程为y=1.2x+1.6可知，变量x、y之间呈正相关，故A正确；

对于B，预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为1.2×2+1.6=4(百本)，故B正确；

对于C，由题意可知，x−=3+4+5+64=4.5，y−=5+6.2+7.4+m4=18.6+3.【答案】B

【解析】解：对于AD，取D为BC中点，θ=π2，则ED//AB，而AB⊥AC，

故DE⊥AC，故在几何体C1−ABDE中，DE⊥C1E，

而CE⊥DE，故∠CEC1为二面角C1−DE−C的平面角，故∠CEC1=90°，

故C 1E⊥AC，而C1E∩DE=E，C1E，DE⊂平面DEC1，

故AC⊥平面DEC1，而DC1⊂平面DEC1，故AC⊥DC1，故A成立；

因为DE⊥AC，DE⊥C1E，AC∩C1E=E，AC，C1E⊂平面ACC1，

故DE⊥平面ACC1，而CC1⊂平面ACC1，故DE⊥CC1，故D成立；

对于C，过E作DE⊥BC，D为垂足，取θ=π2，同理可证DE⊥4.【答案】A

【解析】解：对于命题①，由已知，PM为∠F1PF2的角平分线，则由角平分线定理知，PF1PF2=MF1MF2=t+cc−t，

所以PF1=t+cc−tPF2，由椭圆的定义，PF1+PF2=2a，

所以t+cc−tPF2+PF5.【答案】(0【解析】解：因为集合A=(−2,1)，B=(0,3]6.【答案】8+【解析】解：z1=2−3i，z2=1−2i，7.【答案】77

【解析】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

若a1=2，a6=17，则有d=a6−a15=3，

则8.【答案】0.88

【解析】解：根据题意，某水果店的苹果，60%来自A基地，40%来自B基地，A基地苹果的新鲜率为90%，B基地苹果的新鲜率为85%，

从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率P=60%×909.【答案】拒绝

【解析】解：由题意可知，χ2≈3.468>2.707，

所以可推断拒绝原假设H0．10.【答案】1116【解析】解：根据题意可得E(X)=−1×14+0×111.【答案】b+【解析】解：因为18b=5，所以log185=b，

所以由换底公式得：log3645=log1845log1836=l12.【答案】1−【解析】解：设等腰△ABC的腰AB=AC=x，底边BC=y，则A=36°，φ=BCAB=yx，

由余弦定理知，BC2=AB213.【答案】724【解析】解：由题意，在第一关投1次骰子，点数大于3，即点数为4，5，6，

则过第一关的概率为12；

第二关投2次骰子，点数之和大于6，即点数分别为(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，

(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

14.【答案】(0【解析】解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

在△ACE中，由余弦定理知，cosC=(a2)2+b2−222⋅a2⋅b，

在△BCD中，由余弦定理知，cosC=a2+(b2)2−322⋅a⋅b215.【答案】3【解析】解：

设正四面体顶点P在底面ABC的投影为O，则O为正三角形ABC的中心，

连接OA，所以AO=23×32×3=3，PO=PA2−AO2=6，

若底面ABC上任意一点Q到顶点P的距离不大于7，设PQ=7，

则OQ=PQ2−PO2=1，所以O为圆心，半径为1的圆在底面△ABC内的部分为底，

以P为顶点的几何体即为符合要求的部分，

如图以O为圆心，半径为1的圆与底面△ABC的边BC相交的交点为M，N，

延长OA交BC于E，连接OM，O16.【答案】[3【解析】解：∵对任意的x1∈[12,2]，存在x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)，

∴f(x)的值域是g(x)值域的子集，

当x1∈[12,2]时，f(x)的值域为[−1,1]，

∵y=g(x)是定义在R上的函数，其图像关于原点对称，

∴g(x)是奇函数，且g(0)=0，

∵当x∈(0,1时，g(x)=x2−mx−m+5，

∴g(x)的对称轴方程为x=m2，

当m≤0时，g(x)在(0,1]上单调递增，

∴g(x)在x∈(0,1]时的范围是(−m+5,6−2m]，−m+5>0，6−2m>0，

∴g(x)在[−1,1]上的值域为[2m−6,m−5)∪(−m+5,6−2m]∪{0}，

此时f(x)的值域不可能为g(x)值域的子集，舍去；

17.【答案】[kπ+π3,【解析】解：(1)f(x)=sin2x−cos2x+23sinxcosx=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，则kπ+π318.【答案】证明见详解；

2；42【解析】解；(1)证明：

连接BC′∩B′C=M，取BC的中点N，连接AN，MN，∵AB=AC，∴AN⊥BC，

∵在直三棱柱ABC−ABC中，平面ABC⊥平面CBBC，平面ABC∩平面CBB⊂=BC，AN⊂平面ABC，

∴AN⊥平面CBBC，∵M，N分别为BC，BC的中点，∴MN//BB，且MN=12BB′，

∵点D是棱AA的中点，∴AD//BB′，且AD=12BB′，∴AD/​/MN且AD=MN，∴四边形AD19.【答案】67；

①分布列见解析，E(X)≈469.92【解析】解：(1)设事件M表示“第一次摸到红球”，事件N表示“能够享受优惠”，

在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球，享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况，

从7个球中不放回摸2个球，总情况有A72=7×6=42钟，摸出两个红球的情况有A42=4×3=12种，

摸出1红1蓝的情况有C41C31A22=24种，所以P(N|M)=12+2442=67；

(X800650500150P27135225125实付金额的期望为：

E(X)=800×27512+650×135512+500×225512+150×125512=240600512≈469.92；

②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为Y元，当摸出0个红球或1个红球时，

P(Y=800)=C33C83+C51C32C83=27，当摸出2个红球时，P(Y=40020.【答案】x24−y212=1；

P【解析】解：(1)设半焦距为c，则ca=1即c=2a，而b=23，

故c2−a2=12故a=2，c=4，故双曲线的方程为：x24−y212=1；

(2)由(1)得F2(4,0)，A(−2,0)，因为P在第一象限，

故设P(m,n)，其中m>2，n>0，因为三角形APF2是等腰三角形，

故|AP|=|PF2|或|AF2|=|PF2|或|AF2|=|P.若|AP|=|PF2|，则P在AF2的中垂线上，

则m=−2+42=1<2，舍；若|AF2|=|PF221.【答案】Qf(2)=(−∞,【解析】解：(1)函数f(x)=1+x1−x的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，

由题意可知Qf(2)即不等式1+x1−x≤2的解集，1+x1−x≤2可化为1+x1−x−2≤0，

整理可得3x−1x−1≥0，即(3x−1)(