2025年浙江省衢州市、丽水市、湖州市高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年浙江省衢州市、丽水市、湖州市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|y=lnx}，则A∩B=A.[0,1] B.[0,2] C.(0,1] D.(0,2]2.已知i为虚数单位，复数z=a2−4+(a−2)i(a∈R)是纯虚数，则a=A.2或−2 B.2 C.0 D.−23.已知向量a=(1,1)，b=(−1,1)，则向量a+b在向量bA.(1,1) B.(−1,1) C.(0,1) D.(0,0)4.若(1−x)7=a0A.31 B.32 C.63 D.645.“sin2α<0”是“tanα2>1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要6.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别为正方形A1BA.0 B.34 C.127.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，B，C成等差数列，a,c,43b成等比数列，则A.14 B.12 C.38.过抛物线C：y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过点A作C的切线l，交x轴于点M，过点B作直线l的平行线交x轴于点N，则|FM|+4|FN|的最小值是(

)A.12 B.10 C.9 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sinx+cosx，则(

)A.f(x)的最大值是2 B.f(x)在(0,π2)上单调递增

C.f(π210.若函数f(x)与函数g(x)的图象关于直线x−y+1=0对称，则函数f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)=3x+2 B.f(x)=ex−e−x211.如图，多面体PABCQ由正四面体P−ABC和正四面体Q−ABC拼接而成，一只蚂蚁从顶点P出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记n次爬行后，该蚂蚁落在点P的概率为pn，落在点Q的概率为qn，则(

)A.p2=14

B.p3>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，a13.已知斜率大于零的直线l交椭圆Γ：x24+y2=1于A，B两点，交x，y轴分别于C，D两点，且C，D是线段14.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=1+2f(x)−(f(x))2，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BD⊥DC.将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AC，得到三棱锥A−BCD．

(1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)点E是BC的中点，连接AE、DE，若AB=AD=2．

(i)求二面角B−AD−E的正切值；

(ii)求三棱锥A−BCD的外接球体积．16.(本小题15分)

某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在A，B两点进行投篮，共投两次.第一次投篮点可在A，B两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点.在A点投中得2分，在B点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立．

(1)在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下2×2列联表：得分≥3分得分<3分合计先在A点投篮20525先在B点投篮101525合计302050是否有99%的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？

(2)小明在A点投中的概率为0.7，在B点投中的概率为0.3．

(i)求小明第一次投中的概率；

(ii)记小明投篮总得分为X，求X的分布列及数学期望．

参考公式：χ2α0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82817.(本小题15分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=22，圆(x−2)2+y2=118.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex+a(a∈R)，O为坐标原点．

(1)当a=1时，

(i)求曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程；

(ii)若点P是函数f(x)图象上一点，求|OP|的最小值；

(2)若函数f(x)图象上存在不同两点A，B满足|OA|=|OB|=1+|a|19.(本小题17分)

对于给定的n项整数数列An：a1，a2，…，an(n≥3)，定义变换H(i)：①若i=1，则a1加2，an，a2均加1，其余项不变；②若1<i<n，则ai加2，ai−1，ai+1均加1，其余项不变；③若i=n，则an加2，an−1，a1均加1，其余项不变.例如，对数列：−1，0，1做变换H(1)得到1，1，2，即−1，0，1→变换H(1)1，1，2；而对数列：2，5，7，3先后做变换H(3)，H(4)可得到3，6，10，6，即2，5，7，3→变换H(3)2，6，9，4→变换H(4)3，6，10，6．

(1)找出一系列变换，使得数列：1，2，3经过这系列变换后成为常数列；

(2)是否能找出一系列变换，使得数列：−1参考答案1.D

2.D

3.B

4.C

5.B

6.C

7.D

8.C

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.110

13.1214.2+15.解：(1)证明：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AD∩AC=A，AD，AC⊂平面ACD，

所以AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，

所以AB⊥CD，又因为BD⊥CD，BD∩AB=B，BD，AB⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD；

(2)(i)以D为坐标原点，以DB，DC，Dz所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则A(1,0,1)，E(1,1,0)，所以DA−=(1,0,1)，DE=(1,1,0)，

设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DA=x+z=0n⋅DE=x+y=0，

取x=1，则n=(1,−1,−1)，

由(1)可知，平面ABD的一个法向量为m=(0,1,0)，

所以cos<n,m>=n⋅m|n||m|=−33，

由图可知二面角B−AD−E平面角是锐角，记为θ，

则cosθ=16.解：(1)零假设为H0得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异χ2=50(300−50)225×25×30×20=253>6.635，

根据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，

因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01；

(2)设第1次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件B，投中记为事件E，

则P(A)=12，P(B)=12P(E|A)=0.7，P(E|B)=0.3；

(i)P(E)=P(EA)+P(EB)=P(A)⋅P(E|A)+P(B)⋅P(E|B)=2，

所以小明第一次投篮命中的概率为0.5；

(ii)小明投篮总得分X可取0，2，3，x02346P2173499E(X)=0×2117.解：(1)由题意得2c=22，解得c=2，

∵双曲线的渐近线为ay±bx=0，

∴|2b|a2+b2=1，解得b=1，所以a=1，

故双曲线方程为：x2−y2=1；

(2)由F1A,F2B同向可知，直线F1A，F2B与E均有两个交点，

设直线F1A：x=ty−2，它与E的另一个交点记为C，

由双曲线的对称性可知，|F1C|=|F2B|，故三角形AF2B面积等于三角形CF1F2面积，

所以四边形AF1F2B面积等于三角形ACF2面积，

设A(x1,y1)，C(x2,y2)，

联立方程：x=ty−2x2−y2=1⇒(t2−1)y2−22ty+1=0，

得Δ=4(t2+1)>0，y118.解：(1)当a=1，f(x)=ex+1，

(i)因为f′(x)=ex+1，则f(−1)=1，f(−1)=1，

故切线方程为y−x−2=0；

(ii)设P(x,ex+1)，则|OP|=x2+e2x+2(x∈R)，

记g(x)=x2+e2x+2，

则g′(x)=2(x+e2x+2)，

易知g′(x)=2(x+e2x+2)是关于x的增函数且g(−1)=0，

所以当x∈(−∞,−1)，g(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(−1,+∞)，g(x)>0，g(x)单调递增，

故g(x)最小值为g(−1)=2，得|OP|的最小值2；

(2)∃ℎ(x)=x2+e2x+2a，x∈R，

则ℎ′(x)=2(x+e2x+2a)，

易知ℎ′(x)是关于x的增函数且存在负实数x0，使得ℎ′(x0)=0，

则a=ln(−x0)2−x0，即e2x0+2a=−x0，

所以当x∈(−∞,x0)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，

故ℎ(x)最小值为ℎ(x0)，

注意到，x→+∞limℎ(x)=+∞，且x→−∞limℎ(x)=+，

为使ℎ(x)=1+|a|有两个不等实数解，则有ℎ(x0)<1+|a|．

即x02+e2x0+2a<1+|ln(−x0)2−x0|⇔x02−x0<1+|ln(−x0)2−x0|，

考虑到函数p(x)=ln(−x)2−x是关于x的减函数，且p(−12)>0，