2024-2025学年江苏省南通市高一下学期4月期中调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市高一下学期4月期中调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos15∘A.12 B.32 C.−2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=3，B=45∘，C=75A.22 B.1 C.23.已知三点A(−1,0)，B(1,2)，C(2,1)，若AB和CD是相反向量，则D点坐标为(

)A.(0,−1) B.(4,3) C.(1,−1) D.(−1,3)4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2，A=30∘，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围是(

)A.(0,4) B.(2,4) C.(2,435.已知向量a=(1,3)，|b|=3，且向量a在向量b上的投影向量为A.1 B.2 C.7 D.6.已知sinθ=22cos(θ+A.−27 B.−37 C.7.已知0<α<π2<β<π，向量a=(cosα,A.|a−b|=2 B.a//b8.密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌.皇冠图形(图1)是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.在平面凹四边形ABCD(图2)中，测得AD=1，AB=CD=2，BC=3，凹四边形ABCD的面积为3，则∠ADC−∠ABC的余弦值为(

)

A.12 B.24 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知非零向量a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若a⋅b>0，则向量a，b夹角为锐角

B.若a=4b，则a|a|=b|b|

C.若10.已知0<α<π，sinα+cosα=1A.sin2α=−89 B.sinα−cosα=−11.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sinA=cosB，则A.△ABC为锐角三角形 B.若a=1，则b=tanB

C.2tanB+tan三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，三边长分别为4，6，8，则△ABC为

三角形. (选填“锐角”、“直角”、“钝角”)13.使得(sin11∘−cos11∘14.蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性.小明作出它的部分平面图(三个全等的正六边形)，若AL=xAB+yAF，则x+y=

;若|AB|=2，则AL四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(m,1)，b=(−1,2)，(1)若a⊥b，求((2)若(4a+c)//16.(本小题15分)已知锐角α，β满足sinα=10(1)求sin(α−β)的值(2)求α+β的值．17.(本小题15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2b=c+2acosC(1)求A;(2)若a=3，sinC=2sinB，∠A的平分线交BC于点D，求18.(本小题17分)已知函数f(x)=(1)若α为锐角，f(α2)=(2)在△ABC中，若f(A)=1，BC=13，D是BC的中点，且AD=3，求△ABC(3)若关于x的不等式f(2x−π3)+mf(x)+2≥0在(π19.(本小题17分)

某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)，沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC中，BC=4，其外接圆O的半径为877，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点H．(1)求sin(2)若点T为劣弧BHC上一动点，求TB⋅TC(3)若BO⋅AC=−10，求HA+HB+HC参考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.C

6.D

7.C

8.A

9.BCD

10.AC

11.BCD

12.钝角

13.124

14.7；−2

15.解：(1)因为a⊥b，所以a→·b→=m×(−1)+1×2=0，即−m+2=0，解得m=2，

所以a=(2,1)，则2b=2×(−1,2)=(−2,4)，那么a−2b= (2−(−2),1−4)=(4,−3)，

又因为c=(3,−1)，所以(a−2b)⋅c=4×3+(−3)×(−1)=12+3=15;

(2)已知a=(m,1)，则416.解：(1)由sinα=1010，α为锐角，

所以cosα=1−sin2α=1−(1010)2=31010．

因为cos2β=35，

所以2cos2β−1=35，即cos2β=45，

因为β为锐角，所以cosβ=2517.解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，cosC=a2+b2−c22ab，

所以2b=c+2acosC，即为2b=c+2a．a2+b2−c22ab

化简得b2+c2−a2=bc所以cosA=b2+c2−a22bc=12

因为0<A<π，所以A=π3;

(2)18.解：由题意可得f(x)=3sinxcosx−cos2x+12=32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6).

(1)所以f(α2)=sin(α−π6)=63，因为α为锐角，所以−π6<α−π6<π3，

所以cos(α−π6)=1−sin2(α−π6)=33．

所以cosα=cos[(α−π6)+π6]=cos(α−π6)cosπ6−sin(α−π6)sinπ6

=33×32−63×12=3−66．

(2)在△ABC中，19.解：(1)由正弦定理得BCsinA=2R(R为外接圆O的半径)，

且BC=4，R=877，所以sinA=74，

因为H是△ABC的垂心，所以∠HCA=π2−A，

所以sin∠HCA=cosA，

所以sin∠HCA=34．

(2)取BC中点D，则TB⋅TC=TD2−(12BC)2=TD2−4．

设点T关于BC的对称点T′，OD=d，连结OT′