《抽象函数》课件

第11讲抽象函数考纲要求考点分布考情风向标1.了解函数模型的实际背景．2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质2014年新课标卷Ⅰ考查抽象函数的奇偶性从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查主要是与周期性、单调性相结合，求函数值、比较大小等，重点探讨幂函数型、指数函数型、对数函数型抽象函数的解析式及基本性质抽象函数解析式f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)抽象函数的类型正比例函数型对数函数型指数函数型等价形式f(x1－x2)＝f(x1)－f(x2)

＝f(x1)－f(x2)f(x1－x2)＝实例f(x)＝2xf(x)＝log2xf(x)＝2x1．已知f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(x)≠0，则f(x)是(B

)A．奇函数C．非奇非偶函数B．偶函数D．不确定

解析：令x＝y＝0，则2f(0)＝2[f(0)]2，因为f(x)≠0，所以f(0)＝1.令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(y)，f(y)＝f(－y)，f(x)为偶函数．故选B.2．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝()A．13B．2CC．D．3．若f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f

的值为()A

4．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，并且对任意正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1)f(1)＝______；

(2)若f(8)＝3，则f()＝______.0考点1正比例函数型抽象函数

例1：设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数；

(2)试问当－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由．

(1)证明：令x＝y＝0， 则有f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0.

令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)， 即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)解：当－3≤x≤3

时，f(x)有最值，理由如下：∴y＝f(x)在R上为减函数．因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值．f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴函数的最大值为6，最小值为－6.任取x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0.且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.∴f(x1)>f(x2)．

【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”．(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)＝0⇒f(x)是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性．

(3)判断单调性小技巧：设x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)<f(x1)，得到函数单调递减．【互动探究】

1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下列判断错误的是()D解析：∵f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0.故选D.考点2对数函数型抽象函数

例2：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1. (1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(3)解不等式f(2x2－1)<2.(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0.从而f(－1)＝0.于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．

(3)解：由于f(2)＝1，所以2＝f(2)＋f(2)＝f(4)．于是待解不等式可化为f(2x2－1)<f(4)，结合(1)(2)已证结论，可得上式等价于|2x2－1|<4，且2x2－1≠0.【互动探究】

2．对于函数f(x)定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论： ①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)； ②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；当f(x)＝lgx时，上述结论中正确的序号是________．②③考点3指数函数型抽象函数

例3：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．

(1)求证：f(0)＝1；

(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)求证：f(x)是R上的增函数；

(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范围．＞0.(1)证明：令a＝b＝0，则f(0)＝[f(0)]2.∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：∵当x＜0时，－x＞0，∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.∴f(x)＝

1f(－x)又∵当x≥0时，f(x)≥1＞0.∴x∈R

时，恒有f(x)＞0.＝f(x2－x1)＞1.(3)证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.又∵f(x1)＞0，∴f(x2)f(x1)∴f(x2)＞f(x1)．∴f(x)是R上的增函数．(4)解：由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0)．∵f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.∴x的取值范围是{x|0<x<3}．f(0)＝1⇒f(－x)＝⇒f(x－y)＝【规律方法】(1)解决指数函数型抽象函数的一般步骤为：

1f(x)f(x)f(y)⇒单调性．

(2)判断单调性小技巧：设x1>x2，x1－x2>0，则f(x1－x2)>1，f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数

f(x)是增函数．【互动探究】

3．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论： ①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)； ②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③f(x1)－f(x2)

x1－x2>0；④f(x1)－1

x1<0(x1≠0)；⑤f(－x1)＝

1 .f(x1)当f(x)＝2x

时，上述结论中正确的序号是_______.

答案：①③⑤

思想与方法⊙利用转化与化归思想解答抽象函数例题：已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f为偶函数，对于函数y＝f(x)有下列几种描述：①y＝f(x)是周期函数；②x＝π是它的一条对称轴；③(－π，0)是其图象的一个对称中心；

其中描述正确的是____________．(只填序号)④当x＝时，它一定取最大值．解析：已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f

为偶函数，不妨设f(x)＝sinx，②