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专题十四二次函数与面积第二篇专题拓展·提能力

类型一平行线等积转化

平行线间的距离处处相等，从而可以利用平行线进行面积的等量

转化，来解决与抛物线有关的面积问题.在等积转化时，常常将抛物线

上点通过平行线平移至坐标轴上，便于数量表示和计算.

1.

如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.

P是x轴上方抛物线上一点，且△PAC的面积为15，求点P的坐标.

类型二二次函数中三角形的面积最值

在解决抛物线上动态三角形面积最值问题时，一般思路：设动点

坐标→建立动态三角形面积与动点坐标参量的函数解析式→利用函数

的增减性确定面积的最值.建立动态三角形面积与动点坐标参量函数解析式常有如下方法：1.

如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点

C，点B的坐标为（1，0），对称轴是直线x＝－1.（1）求抛物线的解析式；解：（1）抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.（2）P是直线AC下方抛物线上一个动点，连接PA，PC，BC，求四

边形PABC面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

2.

[2024·成都节选]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点.（1）求线段AB的长；解：（1）由ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴A（－1，0），B（3，0），∴AB＝4.（2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD

的值.

3.

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A（4，

0），B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.（1）求抛物线的解析式.

（2）如图①，若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标.

∵PD∥BO，∴∠PDC＝∠OBC，∴∠PD

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