第15章概率章末题型归纳总结（能力篇）（6大题型）

第15章概率章末题型归纳总结（能力篇）章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：知识点总结模块三：典型例题题型一：事件的运算题型二：概率的基本性质题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件题型四：古典概型题型五：相互独立事件概率的计算题型六：概率综合问题

模块一：本章知识思维导图

模块二：知识点总结知识点1：样本空间和随机事件1、随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2、样本空间我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．3、随机事件、确定事件（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．（2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．（3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件．（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件．知识点2：两个事件的关系和运算1、事件的关系与运算①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示：不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件．②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示：③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示：④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示：2、互斥事件与对立事件（1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示：如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．（2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．（3）互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．知识点3：概率与频率（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．知识点4：古典概型（1）定义一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．知识点5：概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．知识点6：相互独立1、相互独立事件的概念对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立．2、相互独立事件的性质（1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立．（2）相互独立事件同时发生的概率：．

模块三：典型例题题型一：事件的运算【典例11】（2025·高二·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B【典例12】（2025·高二·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是

（

）A．与互斥 B．，C． D．，为对立事件【答案】D【解析】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；故选：D．【变式11】（2025·高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，故A，C正确；事件B与D是互斥事件，故，故B正确，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D错误，故选：D.【变式12】（2025·高二·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可得：①，正确；②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，所以②错误；③，正确，④表示靶被击中，所以④错误；⑤，正确；⑥互为对立事件，，正确；⑦，所以⑦不正确．正确的是①③⑤⑥．故选：B【变式13】（2025·高二·广东佛山·阶段练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，事件表示两次点数和为6，因此件用样本点表示为.故选：A题型二：概率的基本性质【典例21】（2025·高二·广西钦州·期末）已知事件与互斥，且，，则.【答案】0.5/【解析】因为与互斥，所以.故答案为：0.5.【典例22】（2025·高三·全国·专题练习）已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为．【答案】/0.75【解析】记事件“该会员喜爱书画”，事件“该会员喜爱戏曲”，由题意，知，，，由概率的基本性质，知，则，解得，即从该协会中随机抽取一人，该会员喜爱戏曲的概率为．故答案为：【变式21】（2025·高二·安徽·期中）现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是.【答案】【解析】设，，分别为第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，则；；，因此“恰有一名女志愿者”的概率为.故答案为：.【变式22】（2025·高二·浙江·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则．【答案】【解析】由概率的性质得，所以，所以．故答案为：.【变式23】（2025·高一·江苏常州·期末）一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为．【答案】/【解析】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，记黄球为，2个白球为、1个红球为，利用枚举法可知从中一次取2个小球为，共有10种取法，而颜色相同的取法有两种，故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为，所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为．第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为，所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为．两次均为“2个小球颜色一黄一白”，第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为．所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为.故答案为：.题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件【典例31】（2025·高一·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（

）A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立【答案】D【解析】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件，由题意可得，故，故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误；由题意可得，，故，故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误；由题意得，故，，故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误；，故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确．故选：D．【典例32】（2025·高一·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相对立C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥【答案】D【解析】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号，由题意可知：样本空间；事件；事件，；对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误；对于选项BD：因为事件，所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确；对于选项C：因为，则，显然，所以事件A和不相互独立，故C错误；故选：D.【变式31】（2025·高一·河南安阳·阶段练习）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（

）A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件【答案】C【解析】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个，其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故，事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故；事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故，事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故，因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确；因为,所以C与D不相互独立，故C错误.因为,所以C与D不互斥，故D正确.故选:C.【变式32】（2025·高二·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立【答案】C【解析】由可得，因为，则与不互斥，不对立，由可得，因为，所以与相互独立故选：C【变式33】（2025·广东·模拟预测）在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件C． D．【答案】C【解析】对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故B错误；对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种，其中，事件发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，所以，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以，，所以，故C正确；对于D，事件表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误.故选：C．题型四：古典概型【典例41】（2025·高二·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，按比例采用分层随机抽样的方法从甲组中抽取人，记为A，B；从乙组中抽取人，记为a，b，c．在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况有，，，，，，，，，，共10种，其中被抽取的这2人中至少有1人是甲组的情况有7种，分别为，，，，，，，故所求概率为．故选：B【典例42】（2025·高三·全国·专题练习）已知，则函数存在两个零点的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，函数存在两个零点，则需满足．又，所以符合要求，所以函数存在两个零点的概率．故选：A．速解验证排除法！由题可知，分别将代入，只有符合要求．故选：A【变式41】（2025·云南曲靖·一模）有一组样本数据为0，1，2，3，4，5，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的第25百分位数相等的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，所以，当为1，2，3，4，5时，新的样本数据的第25百分位数不变，所以，新的样本数据的第25百分位数不变的概率是.故选：D.【变式42】（2025·高一·江西·期末）某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，发车顺序随机，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，他先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他没有乘坐下等车的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6种，其中该人可以不坐下等车情况有除第一种情况外的其余5种情况，则其概率为．故选：D【变式43】（2025·高二·湖北·开学考试）小明同学有6把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】将6把钥匙分别标号为1，2，3，4，5，6，其中标号为5，6的钥匙是能打开门的，标号为1，2，3，4的钥匙是不能打开门的．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，尝试开门两次的样本点有个，其中第二次才能打开门的样本点有，，，，，，，，共有8个，所以；如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则尝试开门两次的样本空间为，共有36个样本点，其中第二次才能打开门的样本点有，，，，，，，共有8个，所以．故选：A.题型五：相互独立事件概率的计算【典例51】（2025·高二·北京·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（

）A．密码被成功破译的概率为 B．密码被成功破译的概率为C．两人都成功破译的概率为 D．两人都成功破译的概率为【答案】B【解析】对于AB，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，所以密码被成功破译的概率为，所以A错误，B正确；对于CD，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，所以两人都成功破译的概率为，所以CD错误.故选：B【典例52】（2025·高三·甘肃白银·阶段练习）甲、乙、丙三人各自计划去河南洛阳旅游，他们在3月25日到3月27日这三天中的一天到达河南洛阳，他们在哪一天到达河南洛阳相互独立，互不影响，且他们各自在3月25日、3月26日、3月27日到达河南洛阳的概率如下表所示：到达日期3月25日.3月26日3月27日0.30.40.30.40.50.10.20.30.5设甲、乙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，甲、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，乙、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知：，，，故.故选：A【变式51】（2025·上海崇明·二模）抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情况有种，所以.根据对立事件概率之和为，可得.事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”.“次中没有正面朝上”的情况有种；“次中有一次正面朝上”，从次中选次为正面朝上，有种情况.所以事件包含的情况共有种，则.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以.因为事件与事件是独立的，所以，即.可得：.展开得：.即.当时，，，等式不成立；当时，，，等式成立；当时，，，等式不成立.所以.故选：C.【变式52】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布.若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台共有2个乘客候车的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，即，解得，则，，，故两个站台共有2个乘客候车的概率为.故选：D.【变式53】（2025·高一·安徽阜阳·阶段练习）甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（

）A．0.4 B．0.6 C． D．0.76【答案】C【解析】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件，则恰有一人破译密码为，而互斥，由互斥事件概率公式得，由题意得相互独立，相互独立，由独立事件概率公式得，，由题意得，，则，，得到，则恰有一人破译密码的概率为，故C正确.故选：C题型六：概率综合问题【典例61】（2025·河南·二模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组（不含药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量（单位：g），并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图：(1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数；(2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级：体重增加量/g等级较轻中等较重假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率.【解析】（1）因为的频率为，且的频率为，所以在内，所以，所以.（2）对照组较轻的概率为，中等的概率为，较重的概率为；实验组较轻的概率为，中等的概率为，较重的概率为；设抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级为事件，则.所以抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为.【典例62】（2025·北京朝阳·一模）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；(3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明）【解析】（1）从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为，因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为．（2）设事件：抽取的高一学生选择去B地，事件：抽取的高二学生选择去B地，事件：抽取的高三学生选择去B地，事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，，事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地．从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的100名学生中高二年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的100名学生中高三年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；因为，所以．所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为．（3）在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的平均数为，则调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的