第九章统计章末题型归纳总结（基础篇）（6大题型）（原卷版）

第九章统计章末题型归纳总结（基础篇）章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：知识点总结模块三：典型例题题型一：抽样方法的选取及应用题型二：频率分布直方图题型三：总体集中趋势的估计（平均数、中位数、方差、众数）题型四：百分位数题型五：统计图表题型六：分层方差问题

模块一：本章知识思维导图

模块二：知识点总结知识点1：抽样1、抽样调查（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．2、简单随机抽样（1）定义一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．（2）两种常用的简单随机抽样方法①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．（3）抽签法与随机数法的适用情况抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．（4）简单随机抽样的特征①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．3、分层抽样（1）定义一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．（2）分层抽样问题类型及解题思路①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本数量,各层个体数量)”注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）．知识点2：用样本估计总体1、频率分布直方图（1）频率、频数、样本容量的计算方法①eq\f(频率,组距)×组距＝频率．②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．2、频率分布直方图中数字特征的计算（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．3、百分位数（1）定义一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．（2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤①按从小到大排列原始数据．②计算．③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．（3）四分位数我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．4、样本的数字特征（1）众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．5、标准差和方差（1）定义①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．（2）数据特征标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．（3）平均数、方差的性质如果数据的平均数为，方差为，那么①一组新数据的平均数为，方差是．②一组新数据的平均数为，方差是．③一组新数据的平均数为，方差是．

模块三：典型例题题型一：抽样方法的选取及应用【典例11】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（

）A．系统抽样法 B．简单随机抽样法C．分层随机抽样法 D．随机数法【典例12】（2025·高一·北京延庆·期末）某科研院所共有科员人员800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的240人，无职称的80人，欲了解该科研院所科研人员的创新能力，决定采取分层抽样的方法抽取样本，其中含无职称的8人，则共抽取（

）A．20人 B．40人 C．60人 D．80人【变式11】（2025·高一·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，62029774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，32141676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（

）A．37 B．32 C．14 D．16【变式12】（2025·高一·江西南昌·阶段练习）某中学选派270名学生参加南昌市广播体操比赛，其中高一108人，高二、高三各81人，现要在比赛前抽取10人参加检验训练熟练度，考虑选用简单随机抽样、分层抽样两种方案，将学生按高一、高二、高三依次统一编号为1，2，…，270．如果抽到的号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．则不可能为分层抽样的是（

）A．① B．② C．③ D．④【变式13】（2025·高二·云南·学业考试）某大学学生管理处为了了解新入学的名大学生的生活情况，从中抽取了名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的名大学生是（

）A．总体 B．个体 C．样本量 D．样本【变式14】（2025·高二·安徽·阶段练习）关于中小学生是否应该带进校园，有人做了一项相关的调查：调查中有人认为中小学生不应该带进校园，因为中小学生大多数自控力比较差，带进校园会影响学生的正常学习；有人认为这只是一个相对辩证的问题，带进校园便于学生利用现代科技手段促进学习，只要家庭、学校、社会正确引导，可以给学生的学习带来事半功倍的效果；有人没有发表自己的看法.现要从这人中随机抽取人做进一步的调查，最适宜采用的抽样方法是（

）A．简单随机抽样 B．系统抽样C．分层抽样 D．以上都可以题型二：频率分布直方图【典例21】（2025·高一·北京西城·阶段练习）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，.(1)求，的值；(2)求样本中在内的频数；(3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数.【典例22】（2025·高三·全国·专题练习）某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），由于操作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的倍.

(1)求和的值；(2)若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？【变式21】（2025·高一·陕西西安·阶段练习）某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到如图所示的频率分布表．成绩分组频数频率成绩分组100800200

(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．【变式22】（2025·高一·广东肇庆·期末）某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：，，，，，并绘制成了频率分布直方图，如图所示：注：90分及以上为及格．(1)求的值，并估计数学成绩的中位数及众数；(2)在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人．【变式23】（2025·高一·广西崇左·期末）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间.进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中的值；(2)求在被调查的用户中，用电量落在内的户数.【变式24】（2025·高一·全国·专题练习）某校高一某班的某次数学测试成绩（满分100分，单位：分）如下：56，58，62，63，63，65，66，68，69，71，72，72，73，74，75，76，77，78，79，

，90，95，由于保存不利，其中内的成绩被墨水覆盖．根据该数据绘制的频率分布直方图（如图）也被墨水覆盖了部分区域．

(1)求成绩在区间内的频率及抽样人数；(2)求成绩在区间内的频数，并计算频率分布直方图中区间对应的小长方形的高．题型三：总体集中趋势的估计（平均数、中位数、方差、众数）【典例31】（2025·高一·全国·课后作业）某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；(2)估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数；【典例32】（2025·高二·四川遂宁·阶段练习）新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；

(1)试估计这名学生成绩的第百分位数；(2)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率．【变式31】（2025·高一·甘肃平凉·开学考试）为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示：分数频数5102035频率0.050.200.300.35(1)分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图；(2)估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）．【变式32】（2025·高一·江西景德镇·期末）课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力.某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人.

(1)求和的值；(2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(3)求所得数据的中位数.【变式33】（2025·高一·河南·阶段练习）某中学高二年级的所有学生学习完英语人教版选择性必修第一册后，统一进行了一次测试，并将所有的测试成绩（满分150分）按照分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的平均数（每组数据取区间的中间值作代表）．(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从测试成绩在和内的学生中抽取10人的试卷进行试卷分析，试问应从测试成绩在内的学生中抽取多少人？(3)估计该中学高二年级的所有学生该次测试成绩的中位数．【变式34】（2025·高一·甘肃兰州·期末）每年七月，八月是兰州最热，用电量比较高的月份.下图是兰州市城关区某小区住户八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：.(1)求直方图中的；(2)根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；(3)在用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在的用户应抽取多少户？题型四：百分位数【典例41】（2025·高一·江西景德镇·期末）已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为.【典例42】（2025·高一·江西南昌·期末）某车间10名工人生产某产品的数量（单位：件）分别为32，35，38，39，40，42，44，44，45，x，若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2，且，则.【变式41】（2025·广东河源·模拟预测）某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是．【变式42】（2025·高三·上海奉贤·期中）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为【变式43】（2025·高三·河南安阳·阶段练习）《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重单位：千克，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是．【变式44】（2025·高一·全国·专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为.题型五：统计图表【典例51】（多选题）（2025·高一·河南南阳·期末）下图是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型肺炎疫情新增数据走势图．

则下列说法正确的有（

）A．新增疑似的人数最多的是4月29日，新增确诊的人数最多的是4月27日B．新增疑似的人数最多的是4月27日，新增确诊的人数最多的是4月29日C．新增治愈的人数最多的是5月13日，新增死亡的人数最少的是5月15日D．从图中可以看出，本次疫情得到了有效控制【典例52】（多选题）（2025·高一·四川乐山·期末）小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（

）A．娱乐开支比通信开支多5元B．日常开支比食品中的肉类开支多100元C．娱乐开支金额为100元D．肉类开支占储蓄开支的【变式51】（多选题）（2025·高一·全国·课后作业）某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层扇形图．根据双层扇形图，下列说法正确的是（

）A．2023年第四季度的销售额为280万元B．2023年上半年的总销售额为500万元C．2023年2月份的销售额为40万元D．2023年有三个月的月销售额为60万元【变式52】（多选题）根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出如图所示的折线统计图，则以下判断错误的有（

）A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠【变式53】（多选题）（2025·高一·内蒙古通辽·阶段练习）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（

）A．样本中支出在[50，60)内的频率为0.03B．样本中支出不少于40元的人数为132C．n的值为200D．若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内【变式54】（多选题）（2025·高一·广西柳州·阶段练习）给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（

）

A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约13亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢题型六：分层方差问题【典例61】（2025·高一·河南驻马店·阶段练习）已知一组样本量为10的样本数据如下：37

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63(1)求这组数据的平均数和标准差；(2)求这组数据的20%和75%分位数；(3)已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差.【典例62】（2025·高一·云南昭通·阶段练习）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：(1)求的值；(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差；附：方差计算公式：或(3)已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；．记总样本的平均数为，样本方差为．试证明：．【变式61】（2025·高一·江西南昌·期末）随着和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了个用户，得到用户的满意度评分，系统自动将评分按从大到小顺序排列如下：用户编号评分用户编号评分用户编号评分用户编号评分0197118621813176029612862281327603951385238133760493148524803475059215842579357406911684267936740789178327783773088918832878387209881982297839661088208230774063(1)请你估计该地区所有用户评分的，分位数；(2)若从这个用户中抽取一个容量为的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到的其他个用户的评分分别为，且这个数据的平均数，记这个数据的方差为，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“级