643第2课时正弦定理教学设计-高一下学期数学人教A版

第2课时6.4.3余弦定理、正弦定理【教学内容】正弦定理.【教学目标】（1）类比余弦定理的学习过程，能用向量法和作高法探究出正弦定理，发展逻辑推理核心素养；（2）区别余弦、正弦定理刻画的边角关系，能准确表达两个定理解决的问题类型，发展学生分析与归纳能力；（3）能灵活选择正弦、余弦定理解三角形，发展数学运算核心素养.【教学重点与难点】教学重点：正弦定理及应用.教学难点：正弦定理的探究，运用正弦定理解三角形时判断解的情况.【教学过程设计】环节一回顾所学，提出问题问题1：我们上节课学习了余弦定理及其推论能解决哪两类解三角形问题？师生活动：学生独立作答：“已知两边及一角（SAS、SSA）”和“已知三边（SSS）”.追问：（1）如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？（2）余弦定理及其推论中给出了角的余弦值与边的关系，那正弦定理是否也能给出角的正弦值与边的某种关系呢？师生活动：学生独立思考，作答，教师引导学生类比余弦定理初步思考要学习的正弦定理内容为：解三角形和给出角的正弦值与边的关系.设计意图：提出问题帮助学生回顾上节课所学内容，类比余弦定理及其推论不仅可以解三角形，还体现了边角关系的这两点，引出本节课要学习的正弦定理，激发学生学习新知识的欲望，利用追问引导学生思考．环节二探究推导，得出定理图6.49问题2：在中，三个角A,B,C所对的边分别是a，b，c，已知A,B,a,求b图6.49师生活动：教师引导学生分析,得出边角关系式.上节课我们知道了勾股定理是余弦定理的特例，那我们不妨从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在中（如图），有显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立.观察发现，他们有一个共同元素c，利用c把两个式子联系起来，可得.又因为，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即.设计意图：在直角三角形中，从量化的角度，结合锐角三角函数得出了在直角三角形中边角关系式，为下一步学习打下基础，同时培养学生观察能力，逻辑推理和数学运算核心素养.问题3：以上关系式对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立？如果认为成立，你如何证明？师生活动：学生独立思考，交流讨论，教师根据学生作答情况总结.（1）学生若想到通过作高构造直角三角形证明，证明如下：①锐角三角形中：过A点作BC边上的高AD，则有，，则，同理过B点作AC边上的高BE，则有，，则，因此.②钝角三角形中：过A点作BC边上的高AD，则有，，则，同理过B点作AC边上的高BE，则有，，则，因此.通过作高法，证明了在锐角三角形和钝角三角形中上述关系式都是成立的.说明式中边角关系在任意三角形中都存在.设计意图：用作高法推导出在锐角三角形和钝角三角形中关系式也成立.从直角三角形入手，结合三角形的分类，渗透了分类讨论的思想，构建完整的思维脉络，培养逻辑推理和数学运算核心素养.问题4：余弦定理也是刻画边角关系的，能否类比它的证明方法，你发现了有哪些不同？如何证明？师生活动：学生独立思考，作答，教师提出问题引导，再归纳总结得出正弦定理.学生刚学习了用向量证明余弦定理，容易想到仍然采用向量方法研究.在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究.教师引导：但是数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何转化为角的正弦？教师应给予学生思考的时间，适时适度地启发.学生作答：联想诱导公式，通过构造角之间的互余关系，把边的余弦关系转化为正弦关系，再由向量的加法法则推导出关系式.本问的完整解答过程见教科书第46页.最后教师总结得出正弦定理，规范书写板书.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的定量关系.公式表达形式的统一性、对称性，不仅展示了数学的和谐美，也更突显了三角形边角关系的本质.设计意图：让学生掌握类比余弦定理用向量去探究正弦定理的过程，渗透了类比的思想，同时也加强了向量在证明中的运用.由此得到正弦定理，完善学生的知识体系，培养学生逻辑推理和数学运算核心素养.问题6正弦定理中边与其对的角的正弦的比值其实是三角形外接圆直径，你能证明吗？师生活动：学生独立思考，教师根据学生情况进行引导和分析,最后教师总结得出正弦定理推论，规范书写板书.我们以锐角三角形为例，证明过程如下.证明：设圆O半径为R，过点O作边BC的高，垂足为D.由于是的外接圆，有，由于是等腰三角形，则，，，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得所以，，所以，在中，有，因此，.同理可得，，.正弦定理推论：（1）（2）.其中，R为外接圆的半径.设计意图：结合等比性质和圆的性质，让学生掌握正弦定理公式中的比值为三角形外接圆的直径的证明过程，以及可以利用正弦定理进行边角互化，培养了学生逻辑推理和数学运算核心素养.环节三例题练习，加深理解例1（教科书第47页例7）在中，已知，，，解这个三角形.师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.解：由三角形内角和定理，得由正弦定理，得设计意图：让学生学会利用正弦定理解决“已知两角及夹边，解三角形”的问题，培养数学运算核心素养.例2在中，已知，，，求a，b和B.师生活动：学生独立完成，规范书写，教师引导学生分析本题与上一个例题都是“已知两角和一边”，例1是“已知两角及夹边”，而本例是“已知两角和其中一角的对边”，但都是利用正弦定理解三角形。教师根据学生完成情况，做点评和总结.解：由正弦定理，得.设计意图：让学生学会应用正弦定理解决“已知两角和其中一角的对边，解三角形”的问题，进一步熟练、巩固定理，强化学生求解“已知两角和一边”这类基本解三角形问题的能力，培养数学运算核心素养.例3解三角形ABC.（1），，，求C；（2），，，求B；（3），，，求B.师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.解：（1）由正弦定理，得，，.（2）由正弦定理，得，,.（3）由正弦定理，得所以这样的角B不存在.教师总结如下：已知两边和其中一边的对角，三角形的形状一般不确定，用正弦定理求解时，要根据条件来判断这个三角形是否有解，有解时是一解还是两解.判断依据是同一三角形中大边（角）对大角（边）.若给出的角是锐角，这个角的对边小于另一边，则有两解（如本例（1）），反之则只有一解（如本例（2））；若给出的角是钝角，且这个角的对边大于另一边，则有一解，反之则无解.设计意图：通过本例三个题，让学生掌握“已知两边和其中一边的对角”解三角形时判断解的情况，培养学生分析问题的能力和数学运算素养.例4在中，已知，，，求A.师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.解法一：由余弦定理，得所以.又，所以A为锐角.由正弦定理，得,.解法二：由余弦定理，得所以.由余弦定理推论，得.由于，.教师总结：已知两边及夹角解三角形时，用正弦定理求角时，判断解的情况应结合大边对大角的性质.同时要根据题目具体给出的条件，灵活选择余弦、正弦定理解三角形.设计意图：通过本例，让学生在解三角形问题时，能更好的根据题目中给定的条件，灵活地选择余弦、正弦定理，培养学生分析问题的能力和数学运算素养.环节四小结提升，厘清重点问题4：请你带着下列问题回顾本节课内容，并给出回答：（1）说出余弦、正弦两个定理解三角形的问题类型.（2）运用正弦定理解三角形时如何判断解的情况？（3）你认为余弦定理和正弦定理的相同和不同之处有哪些？师生活动：学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结.（1）余弦定理：“已知两边及一角（SAS、SSA）”和“已知三边（SSS）”正弦定理：“已知两角及一边（AAS、ASA）”和“已知两边和其中一边的对角（SSA）”（2）判断依据是同一三角形中大边（角）对大角（边）.若给出的角是锐角，这个角的对边小于另一边，则有两解（如本例（1）），反之则只有一解（如本例（2））；若给出的角是钝角，且这个角的对边大于另一边，则有一解，反之则无解.（3）①余弦定理和正弦定理都给出了具有统一性、对称性、和谐美的公式；②都很好的刻画了三角形中的边角关系，可以利用两个定理进行边角互化；③都可以用向量的方法推导；不同之处在于①余弦定理公式中含有余弦值，正弦定理公式中含有正弦值，②解三角形的问题类型不同，让解各种三角形的方法更加完善.设计意图：进一步反思巩固所学知识，厘清余弦、正弦定理解三角形的类型.明确用正弦定理解三角形时，如何判断解的情况，培养学生归纳概括的能力，发展素养.环节五目标检测，巩固所学目标检测：教科书第48页练习1、2、3.设计意图：通过3个练习题，检测本堂课教学效果，对学生学习结果进行课堂测评，其中第1题（1）、第