中考数学复习-平面几何全等小综合（含答案）

平面几何全等小综合典例精练【例】(2023临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.(1)写出AB与BD的数量关系;(2)延长BC到点E,使CE=BC,延长DC到点F,使CF=DC,连接EF,求证:EF⟂AB;(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH.针对训练1.(1)如图1,在四边形ABCD中,若.BC=CD,∠BAD=∠BCD=90∘,则AC平分∠BAD.小明为了证明这个结论，将△ABC绕点C顺时针旋转(2)如图2,在五边形ABCDE中,∠A=∠C=90∘,AB=BC,AE+CD=DE,2.如图1,在矩形ABCD中,点E在BA的延长线上,AE=AD,,EC与BD相交于点G,与AD相交于点F，AF=AB.(1)求证:BD⟂EC;(2)如图2,连接AG,求证:EG−DG=23.(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,，D是异于A，B的一点，且∠ADB=90(2)如图2,在△ABC和△CDE中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,AC=10CD=2,ED的延长线交AB于点F，且4.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.在Rt△ADE中,∠DAE=90°,AD=AE,连接BE,CD.(1)求证:BE⊥CD;(2)如图2,G是EC的中点,连接GB并延长至点F,CF=CD.求证:∠EBG=∠F.5.AC,BD是四边形ABCD的对角线,AB=AC,∠ABC+∠ADC=90°.(1)如图1,若∠ABC=60°,求证:BD证明:以AD为边作等边△ADE,连接BE.∴AD=AE=ED,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°.∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形.(2)如图2,若∠ABC=45°,写出一个等式表示BD,AD,CD之间的数量关系.6.(2024甘肃)【模型建立】(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD..用等式表达线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.【模型应用】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⟂EF,AE=EF,用等式表达线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.7.(2023天门)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E,F,连接BM.(1)求证:∠AMB=∠BMP;(2)若DP=1,求MD的长.平面几何全等小综合参考答案典例精练【例】(2023临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.(1)写出AB与BD的数量关系;(2)延长BC到点E,使CE=BC,延长DC到点F,使CF=DC,连接EF,求证:EF⊥AB;(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH.解：1(2)证明:∵CE=CB,∠ECF=∠BCD,CF=CD.∴△CEF≌△CBD,∴∠E=∠DBC,∴EF∥BD.∵BD⊥AB,∴AB⊥EF.(3)证明:延长EF,CH交于点G.∵EF⊥AB,AC⊥AB,∴GE∥AC,∴∠CGE=∠ACG.∵CH平分∠ACE,∴∠ACG=∠ECG,∴∠CGE=∠ECG,∴EG=EC,∴EG=BC.∵△CBD≌△CEF,∴EF=BD.∵BC=AB+BD,EG=FG+EF,∴AB+BD=FG+EF,∴FG=AB=AC.在△AHC和△FHG中,{∴△AHC≌△FHG,∴AH=FH.针对训练1.(1)如图1,在四边形ABCD中,若BC=CD,∠BAD=∠BCD=90°,则AC平分.∠BAD.小明为了证明这个结论，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，请帮助小明完成他的作图.(2)如图2,在五边形ABCDE中,∠A=∠C=90°,AB=BC,AE+CD=DE,求证:DB平分∠CDE.解:(1)如图1所示.(2)证明:延长DC至点F,使CF=AE,连接BE,BF.∵∠A=∠BCF=90°,AB=BC.∴△BAE≌△BCF(SAS).∴BE=BF.∵AE+CD=DE,∴CF+CD=DE,即DF=DE.又∵BD=BD,∴△BDE≌△BDF(SSS).∴∠BDE=∠BDF,即DB平分∠CDE.2.如图1,在矩形ABCD中,点E在BA的延长线上,AE=AD,EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.(1)求证:BD⊥EC;(2)如图2,连接AG,求证:EG−DG=证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,∴∠EAF=∠DAB=90°.又∵AE=AD,AF=AB,∴△AEF≌△ADB(SAS).∴∠AEF=∠ADB,∠EFA=∠DBA.∴∠AEF+∠DBA=90°.∴∠EGB=9(2)在线段EG上取点P,使得EP=DG,连接AP.∵AE=AD,∠AEP=∠ADG,EP=DG,∴△AEP≌△ADG(SAS).∴AP=AG,∠EAP=∠DAG.∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°.∴△PAG为等腰直角三角形.∴EG-DG=EG--EP=PG=2AG.3.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,D是异于A,B的一点,且∠ADB=90(2)如图2,在△ABC和△CDE中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,AC=10CD=2解:(1)如图,BF=CF.证明:分别过点B,C作BG⊥DE于点G,CH⊥DE于点H.根据旋转的性质,得△ADB≌△AEC.∴BD=CE,∠ADB=∠AEC=90°.∴∠BDG+∠ADE=∠AED+∠CEH=90°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠BDG=∠CEH.∵∠BGD=∠CHE=90°,∴△BDG≌△CEH.∴BG=CH.∵∠BFG=∠CFH,∴△BFG≌△CFH.∴BF=CF.(2)3.·59·中考数学4.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.在Rt△ADE中,∠DAE=90°,AD=AE,连接BE,CD.(1)求证:BE⊥CD;(2)如图2,G是EC的中点,连接GB并延长至点F,CF=CD.求证:∠EBG=∠F.证明:(1)设BE分别交AD,CD于点M,N.∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠EAB=∠DAC.∵AB=AC,AD=AE,∴△BAE≌△CAD(SAS).∴∠BEA=∠CDA.∵∠AME=∠DMN,∴∠DNM=∠DAE=90°.∴BE⊥CD.(2)∵△BAE≌△CAD,∴BE=CD.延长FG至点H,使GH=FG,连接EH.∵G是EC的中点,∴EG=CG.又∵∠EGH=∠CGF,∴△EGH≌△CGF(SAS).∴∠H=∠F,EH=CF.∵CF=CD,CD=BE,∴EH=BE,∴∠H=∠EBG.∴∠EBG=∠F.5.AC,BD是四边形ABCD的对角线,AB=AC,∠ABC+∠ADC=90°.(1)如图1,若∠ABC=60°,求证:BD证明:以AD为边作等边△ADE,连接BE.∴AD=AE=ED,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°.∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形.(2)如图2,若∠ABC=45°,写出一个等式表示BD,AD,CD之间的数量关系.解:(1)∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∴∠BAC=∠EAD.∴∠EAB=∠DAC.在△ADC和△AEB中{∴△ADC≌△AEB(SAS).∴CD=BE,∠ADC=∠AEB.∵∠ABC+∠ADC=90°,∴∠AED+∠AEB=90°.∴∠BED=90°.∴在Rt△BDE中,BD2=D26.(2024甘肃)【模型建立】(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式表达线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.【模型应用】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⟂EF,AE=EF,用等式表达线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.解:(1)DE+CD=AE,理由如下:∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°.∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°.∴∠ABE=∠C.∵AB=BC,∴△ABE≌△BCD.∴BE=CD,AE=BD.∴DE=BD-BE=AE-CD.∴DE+CD=AE.2AD=2BE+DF.理由如下:过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N.∵四边形ABCD是正方形,BD是正方形的对角线,∴∠ADB=∠CDB=45°,DB平分.∠ADC,∠ADC=90∘.∴2AD=2CD=BD,即DE=BD-BE=27.(2023天门)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E,F,连接BM.(1)求证:∠AMB=∠BMP;(2)若DP=1,求MD的长.解:(1)证明:由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°.∵EM=EB,∴∠EM