中考数学复习-圆与相似（含答案）

圆与相似典例精练【例1】(2024长春)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.下列结论:①∠ABD=∠DAC;②AF=FG;③当DG=2,GB=3时,FG=其中正确的结论是(只填写序号).【例2】(2024内江)如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,过点C作AD的垂线,垂足为E.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)求证:CE是⊙O的切线;(3)若AD=2CE,OA=2求阴影部分的面积.针对训练1.如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，C是BD的中点，延长AD交BC的延长线于点E.若AB=3,BC=3A.2B.1C.3−32.如图,四边形ABCD内接于⊙O,直径AC=6,AC,BD交于点E,AB=BD,EC=1,则AD的长为()A.3215B.1733.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,BC与过点A的切线EF平行,BC,AD相交于点G.若DG=BC=8,则AC的长为.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,E是边BC的中点,连接DE.若AD=4,BD=9,则⊙O的半径为.5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AB上,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E.若AC=8,BC=6,则BD=.6.(2023黄冈)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F.(1)求证:AB=AC;(2)若AE=3,DE=6,求AF的长.7.(2024浙江)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.求证:(1)EF∥BC;(2)EF=BD.圆与相似参考答案典例精练【例1】(2024长春)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.下列结论:①∠ABD=∠DAC;②AF=FG;③当DG=2,GB=3时,FG=其中正确的结论是①②③(只填写序号).【例2】(2024内江)如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,过点C作AD的垂线,垂足为E.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)求证:CE是⊙O的切线;(3)若AD=2CE,OA=2，求阴影部分的面积.解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°,∴∠ACB=∠AEC,∵C是BD的中点,∴BC=DC,∴∠BAC=∠EAC,∴△ACE∽△ABC.(2)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∵∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠ACO,∴OC∥AE,∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∵OC是⊙O的半径,∴CE是⊙O的切线.(3)连接DB,OD,DB交OC于点F.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠AEC=∠ECO=90°,∴四边形DECF是矩形,∴DF=EC,∵OC是半径,C是BD的中点,∴DF=FB,OC⊥DB,即DB=2DF=2EC,∵AD=2CE,∴AD=DB,∴∠DAB=∠DBA=45°,∴∠DOA=2∠DBA=90°,∴针对训练1.如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，C是BD的中点，延长AD交BC的延长线于点E.若AB=3,BC=3A.2B.1C.3−32.如图,四边形ABCD内接于⊙O,直径AC=6,AC,BD交于点E,AB=BD,EC=1,则AD的长为(A)A.3215B.173C.3.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,BC与过点A的切线EF平行,BC,AD相交于点G.若DG=BC=8,则AC的长为·4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,E是边BC的中点,连接DE.若AD=4,BD=9,则⊙O的半径为135.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AB上,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E.若AC=8,BC=6,则.BD=6.(2023黄冈)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F.(1)求证:AB=AC;(2)若AE=3,DE=6,求AF的长.解:(1)证明:连接OD.∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE.∵DE⊥AC,∴OD∥AC.∴∠C=∠ODB.∵OD=OB,∴∠B=∠ODB.∴∠B=∠C.∴AB=AC.(2)连接DF,DA,∵∠F=∠B,∠B=∠C,∴∠F=∠C.∴DF=DC.∵DE⊥CF,∴FE=EC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADC=90°.∴∠ADE+∠CDE=90°.∵DE⊥AC,∴∠C+∠CDE=90°,∠AED=90°.∴∠C=∠ADE.∵∠AED=∠DEC=90°,∴△DAE∽△CDE.∴BE=··∵AE=3,DE=6,∴∴EF=EC=12.∴AF=EF-AE=12-3=9.7.(2024浙江)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD,,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.求证:(1)EF∥BC;(2)EF=BD.证明:(1)∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠ABC=180°.∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE+∠ABC=18