河北省邯郸市2025届高三第三次调研监测（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省邯郸市2025届高三第三次调研监测（一模）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以；由，所以.所以.故选：A2.已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，则，所以复数在复平面内所对应的点为位于第三象限.故选：C3.某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，则这组数据的第75百分位数是（）A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2【答案】D【解析】将决赛中12名参赛选手的得分从小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，，所以这组数据的第75百分位数是第位数和第位数的平均数，即.故选：D.4.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设，得，则，故抛物线，将代入，得，得，∴∴,所以直线的方程为，即.故选：B.5.在中，，，点在的内部，的延长线与交于点，若，则的面积是（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】，因，则，，得.又，则，过A，M做BC垂线，垂足为G，F，则，，又底边相同，则.故选：C6.在正三棱柱中，，则“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】如图：设.以为基底，则，，，.因为，，所以.由可得，解得或，即或.即“异面直线与所成角的余弦值是”的充要条件是“或”.故“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的充分不必要条件.故选：A7.已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，因为函数恰有一个极值点，所以有一个实数根，即有一根，即与一个交点，令，则，令，函数单调递增，解得：，令，函数单调递减，解得：，则，有一根，即，当，时都有2-xex与一个交点，有两根当时，与一个交点，有一根，综上所述，的取值范围是故选：A8.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，设，则，两式相加得，又，所以，又，所以，当轴时最小，此时，所以，又，则，整理的，又，两边除以得，解得，又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】圆的圆心，半径，当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由直线与圆相切得：，解得或，所以直线的方程为：或.故选：AC10.已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（）A.B.是奇函数C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】对于A，因为，，令，则，所以，令，则，则，令，则，所以，故A错误；对于B，令，则，即，所以是奇函数，故B正确；对于C，令，则，又，所以，所以，故C正确；对于D，令，则，设，则，又当时，，则，所以，则函数在是增函数，又由，，则不等式，即为，则，解得或，即不等式的解集是，故D正确.故选：BCD11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.若在上恰有三个零点，则的取值范围是C.当时，在上单调递增D.若在上的最小值为，则【答案】ACD【解析】由题意知，对于A，，即的图象关于直线对称，A正确；对于B，由，得或，由于在上有2解，即，，结合在上恰有三个零点，可知需在上只有一解，由于在上单调递增，在上单调递减，且，故要使在上只有一解，需或，B错误；对于C，当时，，令，，，则在上单调递减，而图象对称轴为，该函数在上单调递减，故在上单调递增，C正确；对于D，令，，，则化为，该函数图象对称轴为，当，即时，；当，即时，；当，即时，，综合上述在上的最小值为，则，D正确，故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非零向量，满足，且向量，的夹角为，则向量，的夹角为_______________.【答案】【解析】由可得，又，为非零向量，且向量，的夹角为，则，即，又，，所以，所以.故答案为：13.设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为_______________.【答案】30【解析】当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字为十位，有种方法；当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大数字作十位，有种方法，所以“峰型三位数”的个数为.故答案为：3014.已知某圆台的体积为，球刚好和该圆台的上、下底面及侧面都相切，若该圆台下底面圆的半径是上底面圆的半径的4倍，则球的体积是______________.【答案】【解析】如图，画出截面示意图，设圆台的上下底面半径分别为，球的半径为，圆台的母线长为，由圆台的体积公式可得，①由梯形面积可得，解得，又在中，，解得，代入①可得，所以所以球的体积是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是等差数列，是等比数列，且，，，.（1）求，的通项公式；（2）若，求的值；（3）若，求数列前项和.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.∵，，，，∴，由得.由①③得，①④代入②得，，解得，故，∴.（2）∵，∴，令，由函数和在上为增函数得在上为增函数，∵，∴（3）由（1）得，，∴.16.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，是棱上的一点，是棱的中点.（1）证明：.（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.解：（1）∵四边形是正方形，，∴.∵是棱的中点，∴.∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设，则，，，∴，，设平面的法向量为，则,令，则，故.由题意得，平面的法向量为，∴，解得或（舍），∴，故.17.某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.（1）已知.①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；②求甲同学答对1道题的概率.（2）记甲同学的答题个数为，求的最大值.解：（1）①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为；②甲同学答对1题的情况如下，第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为；第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为；所以甲同学答对1道题的概率为；（2）由题意，，且，，，，所以，又，令，则，令，则，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；又，，则在上，所以在上恒成立，即在上单调递减，所以，故最大为.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）若在上恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，，，切线的斜率，，所以切点坐标为，切线方程为，，当时，，当时，，所以直线与轴交点为，与轴交点为，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.（2）因为，，，所以，可化为：，即，令，，所以为上的单调递增函数，将，转化为，因为为上的单调递增函数，所以，即，即，整理有：，令，，令，即，，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减，所以，因为恒成立，所以.19.对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆（，且），则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点.（1）求椭圆的标准方程.（2）设直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之积为.①证明：且直线过定点.②试问在轴上是否存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意可设的共轭椭圆