河北省部分示范校2025届高三下学期高考模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省部分示范校2025届高三下学期高考模拟数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.⫋C.⫋ D.【答案】B【解析】等价于且，故解不等式得，所以，，所以可得：⫋，.故ACD错，B对.故选：B.2.若复数是方程的两个不同的根，则（）A. B. C. D.9【答案】A【解析】设.则，因为，所以解得或不妨设，则.故选：A.3.某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（）附：，，.A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格【答案】B【解析】由题得，，所以，，，，因，，所以，根据比例成绩大于分为优秀，因为，根据比例成绩在到之间的为良好，，根据比例成绩在到之间的为合格，，根据比例成绩小于分为基本合格，因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.故选：B.4.已知，则（）A.1 B.2 C. D.3【答案】D【解析】因为，所以.所以所以，因为.则，所以，所以.所以3.故选：D5.若函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为定义域为关于原点对称，所以是奇函数，由于，可知函数在定义域上单调递减，所以即，即，则，该不等式组无解，所以解集为.故选：D.6.已知正方体的棱长为2，平面截正方体所得的图形为六边形，设该六边形的周长为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接,由于平面，平面，故，又平面，故平面，又平面，故，,则，同理可得,平面，故平面，由于平面，故平面平面，平面与平面的交线为,平面与平面的交线为，故，同理可得故平面如图阴影部分，，同理可得,故六边形周长为定值，所以B正确.故选：B7.在正项无穷数列中，若，则是，，成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以.当时，，所以，所以，所以充分性成立；因为，所以，因为，，，所以，所以，所以，所以,因为，所以，即，所以必要性成立.故选:C.8.已知抛物线，过点作的两条切线，切点分别为，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得切线斜率存在，设过点的的切线方程为，即，与联立，消去得，故，即，设，为的两个根，由韦达定理得，，设直线，的斜率分别为，，，，因为，所以，则，故，，则，，得到，，，由两点间距离公式得，，，，，故B正确.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.若取得最大值，则D.若，则在上的投影向量为【答案】ABD【解析】对于A，若，则，则，解得，所以A正确；对于B，若，则，所以，解得，所以B正确；对于C，，当，即时，取最大值，所以C错误；对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确.故选：ABD.10.已知函数的图象经过点，的零点之间距离的最小值为，则（）A.B.的单调递增区间为C.的图象关于点对称D.的解集为【答案】BC【解析】由已知得，的最小正周期为，所以，因为函数的图象经过点，所以，因为，所以，所以，则，所以A错误；当且仅当时，单调递增，解得，所以的单调递增区间为，所以B正确；令，得.所以的图象关于点对称，所以C正确；因，由，可得，即，所以，或，而当时，，故只需，由可得，解得，因为，故，因此，的解集为，D错.故选：BC.11.我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（CassiniOval）．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则（）A.关于轴、轴对称 B.当不在轴上时，C.当时，纵坐标的最大值大于 D.当，有公共点时，【答案】ACD【解析】对于选项A：设，由，得，将代入得到，将将代入得到，所以关于轴、轴均对称，A正确；对于选项B：当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点，所以，B错误；对于选项C：当时，，当时，可得：，解得：，此时，即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确；对于选项D：由，得为椭圆，且，其方程为，所以，代入，得，所以，因为，所以，解得：或舍去，D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______.【答案】100【解析】由题意，应抽取数学样卷的份数为.故答案为：10013.若双曲线虚轴的上、下端点分别位于圆的外部与内部，其中为的半焦距，则离心率的一个取值可以为__________.【答案】2（答案不唯一､满足即可）【解析】由题得虚轴的端点分别为，，因为虚轴的上，下端点分别位于圆的外部与内部，所以0解得，即，即，则，故的取值范围为，则可取.故答案为：（答案不唯一､满足即可）14.已知半径为1的球内切于上、下底面半径分别为，的圆台，若，则圆台表面积的最小值为__________.【答案】【解析】作出圆台与内切球的轴截面如图，过作于点，易得，，，则，则，同理得，则在中，，解得，因为，所以，所以圆台的表面积，设，所以，所以，因为，所以，所以在上单调递减，所以当且仅当时，取得最小值为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为.（1）求；（2）若，求的取值范围.注：.解：（1）因为，所以，由正弦定理得，所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以，因为.所以，所以，即，即的取值范围为.16.如图，在多面体中，为正三角形，平面，平面，平面，，，分别为与的重心.（1）求证：，且平面平面；（2）若，，直线与平面所成的角为，求到平面的距离.证明：（1）延长交于，延长交于，连接，由，分别为与的重心，得，分别为对应线段的中点，则，由平面，平面，平面，得，则，点四点共面，由，，得，则；由平面，平面，得，而为正三角形，即，又平面，因此平面，而平面，则平面平面，所以平面平面.（2）解：由，平面，得平面，而平面，则，，而，则直线两两垂直，以为原点，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，过作于，则，由平面，平面，得平面平面，直线是在平面内的射影，因此为直线与平面所成的角，，，而，则，，又，则，连接，，，设平面的法向量为，则，令，得，所以到平面的距离为.17.在直角坐标系中，已知为一个动点，且直线，的斜率之积为.（1）求的轨迹的方程；（2）若，经过点的直线与交于点，求证：.（1）解：设，因为，直线的斜率之积为.所以，化简得，即的方程为.（2）证明：由题知直线的斜率不为零，设的方程为，联立与，得，显然判别式，设，所以，设直线的斜率分别为，所以，即，即，所以.18.已知函数.（1）证明：，；（2）求函数的零点个数.（1）证明：欲证，，即证，，令，则，因为，，所以，所以在上单调递增，所以，所以，成立.（2）解：令，所以，①当时，，，所以，即在时无零点；②当时，，，所以，所以在时单调递增，所以，即在时无零点；③当时，令，则，显然在上单调递增，又，，所以存在使得，因此可得时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以存在，使得，即时，，，单调递减；时，，，单调递增，又，，所以在上有2个不同的零点；④当时，单调递增，所以，即成立，所以在上无零点，综上，函数有2个不同的零点.19.将数列中的各项随机排列后构成一个数列为，则称是的一个“随机数列”；若中的各项均满足，则称是的“完全随机数列”，记的“完全随机数列”的个数为.（1）直接用表示的最小值和最大值；（不需要写出过程）（2）分别计算，并证明：是公比为的等比数列；（3）若从中随机选取一个数列，记此数列是的“完全随机数列”的概率为，证明：.解：（1）最小值为，最大值为.（2）显然；当时，为数列1，2，则其完全随机数列必为2，1，故；当时，为数列，则完全随机数列可以为或，故；当时，为数列，为得到数列的完全随机数列，可先排1，有3种排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3种排法，剩下的两个数字只有1种排法，由乘法原理可得.当数列有项时，其“完全随机数列