河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第1节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A，B两所大学分别有7，8个自己感兴趣的专业，若这名同学只能从这些专业中选择1个，则他不同的选择种数为（）A.56 B.15 C.28 D.30【答案】B【解析】不同的选择种数为.故选：B.2.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，故当时，，即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，故选：B3.某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（）A.11种 B.22种 C.30种 D.60种【答案】C【解析】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）．故选：C．4.已知函数，则（）A.6 B.3 C. D.【答案】D【解析】因为，所以，令，得，∴，所以，故故选：D.5.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，∴，即，∴.故选：D.6.已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的定义域为，又，由题意可知在上有解，即在上有解，可得，所以．故选：C．7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因为，所以，所以在上单调递减；又，所以，因此不等式可化为，所以，解得，即不等式的解集为.故选：A8.把一个球形的原材料切割成体积为2的正四棱锥，则球形原材料的半径至少为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知当体积为2的正四棱锥的所有顶点均在球体的表面时，球形原材料的半径最小．设正四棱锥的底面边长为，球心为，底面中心为，高为，如下图所示：易知底面的外接圆的半径为，由球的性质可知，即，整理得，又正四棱锥的体积为2，所以，所以，所以．设，则，由得，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】对于A选项，，故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，故D正确．故选：AD．10.设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由题意知与轴有三个交点，当时，，当时，，当时，，当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．故选：AC．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极小值点为1B.的最小值为3C.不存在过原点且与曲线相切的直线D.若，且，则的最小值为128【答案】ACD【解析】对于A，函数的定义域是，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．所以的极小值点为1，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为，又切线过原点，则有，即，无解，即过原点且与曲线相切的直线不存在，故C正确；对于D，由，得，即，又且，所以，又，所以，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，所以的最小值为128，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12已知函数，则__________.【答案】6【解析】由题设，根据导数的概念知.故答案为：613.某市教育局为切实落实政策《关于深入推进义务教育学校校长教师交流轮岗的意见》，安排3名校长和4名教师到甲、乙、丙三所学校进行轮岗交流，要求每所学校安排一名校长，每个校长和老师只去一个学校，则不同的安排方案种数是______【答案】【解析】先安排校长：每所学校安排名校长，则不同的安排方案种数是；再安排教师：每个教师均有3个学校可以选择，则不同的安排方案种数是，综上所述，由分步乘法计数原理得不同的安排方案种数是．故答案为：14.设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是______．【答案】【解析】，设，则，所以，，所以，因为与的图象若恰有3组对称点，所以有三组解，可得即有三个解，令，即函数与的图象有3个不同的交点，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递减，所以，，所以.故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的值；（2）求曲线在点处的切线方程．解：（1）由，得，因为，所以，解得．（2）由上问得，所以，则，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．16.已知函数在处有极小值3．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由题意得函数，则，由题意得，解得当时，，令，解得．则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，则是极小值点，符合题意，故．（2）由（1）知，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，则当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，而，故在上的值域为．17.设函数，其中为自然对数的底数．求证：（1）当时，；（2）．解：（1）令，则，当时，，在上单调递增，故，即当时，成立.（2）由（1）可得：当时，，要证，即证，即证，令，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间单调递减，所以在处取得最小值，所以，即恒成立，所以．18已知函数．（1）当时，求的极值点个数（2）当时，恒成立，求实数的最小值．解：（1）当时，，定义域为，．令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，即，所以在上单调递减，故的极值点个数为．（2）当时，，不等式可化为在上恒成立，令，则，由（1）可知，，即（当且仅当时取等号），则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以，故实数的最小值为．19.若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．（1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由；（2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；（3）若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证．解：（1）函数是函数在区间上的1级控制数．理由如下：因为，且，所以，所以，即成立，所以函数是函数在区间上的1级控制函数．（2）由函数是函数在区间上的级控制函数，得，又，由指数函数性质得在上单调递增，所以，即恒成立．令，所