广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面中，复数的共轭复数所对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，则，所以所求点的坐标为.故选：C.2.已知向量，满足，，，则（）A.7 B. C. D.4【答案】C【解析】.故选：C.3.在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】∵中，已知，，，由正弦定理，可得：，解得：，可得：或.当时，∵，∴，是直角三角形.当时，∵，∴，是等腰三角形.故是直角三角形或等腰三角形.故选：D.4.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量，，得，由，得，所以.故选：B.5.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】C【解析】由直观图可得如下平面图形，其中，，所以.故选：C.6.已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由点在线段的延长线上，且，得，因此，所以点P的坐标为.故选：A.7.已知复数满足，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，表示上述圆上的点到原点的距离，所以.故选：D.8.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（）A. B.32 C. D.64【答案】A【解析】作，垂足，如下图所示：则为的中点，故.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.若，，则B.两个非零向量，，若，则与共线且反向C.若，则存在唯一实数使得D.若是三角形的重心，则【答案】BD【解析】若可满足“，”，但不一定成立，A错；根据向量减法几何意义，当，则与共线且反向，B对；若可满足，但不满足存在唯一实数使得，C错；如图所示：，D对．故选：BD．10.如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（）A.该几何体的高为B.该几何体的表面积为C.该几何体的体积为D.一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为【答案】ACD【解析】对于A，正四棱锥底面半径，高，因此该几何体的高为，A正确；对于B，几何体的表面积为，B错误；对于C，该几何体的体积为，C正确；对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，取中点，连接，则，而，所以最短路程为，D正确.故选：ACD.11.在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（）A.B.面积的最大值为C.若为边的中点，则的最大值为3D.若为锐角三角形，则其周长的取值范围为【答案】ACD【解析】对于A，由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确；对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误；对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长，由于是锐角三角形，因此即解出，则，则，则，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为______．【答案】【解析】因为，所以复数的虚部为.13.已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.【答案】.【解析】∵；∴＝0；∴；∵与夹角的取值范围为[0，π]，∴的夹角为．14.如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度______．【答案】米【解析】依题意，，，，设米，在中，米，在中，米，在中，米，在中，由余弦定理得，即，即，在中，由余弦定理可得，即，即，因此，而，解得，所以清风楼的高度为米.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数.（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．解：（1）若复数为纯虚数，则，解得.（2）已知是关于的方程的一个根，则也是方程的根，所以，所以.16.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．解：（1）在中，由，得，整理得，而，解得，而，所以.（2）依题意，，而，解得，由余弦定理得，即，则，于是，解得，所以的周长为.17.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.（1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；（2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？解：（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，所以圆柱底面直径，则底面半径，综上，圆锥的高为，母线长为，所以陀螺的体积为，陀螺表面积为.（2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，所以陀螺的高为，由圆柱体侧面积，当且仅当时取等号，所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.18.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.（1）求：；（2）求的坐标；（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.解：（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，所以，而，，则.（2）因，所以，，所以，则四边形是平行四边形，所以，因为分别是的中点，所以，所以，，因为，则，所以，.（3）由（2）知，，因为点在线段上运动，所以设，其中，因为，所以，所以，因为不共线，则，解得，所以，因为，所以当时，取得最大值3.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：（1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．（i）若，求；（ii）求最小值．解：（1）由等边三角形，三个内角均小于