河北省2025届高三下学期省级联测考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省2025届高三下学期省级联测考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，由，得，所以集合，易知，，故选：B.2.若复数满足，其中是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，因此，则，，即，所以.故选：A3.已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（）A.30° B. C. D.135°【答案】C【解析】由已知得，即，即又，两式联立可得：，则向量与的夹角为故选：C.4.高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为（）A. B. C. D.不确定【答案】A【解析】设圆台的上、下底面积分别为，，圆柱的底面积为，高为，根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，，，，故选：A.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，即则，∴，故选：C.6.已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数与均是增函数，所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得，由得，即恒成立，所以，当时，函数取得最大值，所以，，即，因此，实数的取值范围是.故选：D.7.已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知在处取得最小值，，，解得，∵函数在上单调递减，，即，，当时，，，符合条件，.由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即，故选：B.8.已知函数，则是（）A.偶函数，有最小值 B.偶函数，有最大值C.奇函数，在上单调递增 D.奇函数，在上单调递减【答案】B【解析】函数的定义域为R，，，故函数为偶函数.令，则，所以，由复合函数的单调性可得在上单调递减，处取得最大值，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，则下列结论正确的是（）A. B.若，则的最小值为4C. D.【答案】ACD【解析】对于A，，由指数函数单调递增，，即，故A正确；对于B，，等号成立条件，由于，显然等式不成立，故最大值比0小，所以最小值不可能为4，故B错误；对于C，由已知，，，即，故C正确；对于D，，由幂函数单调递增，，即，故D正确，故选:ACD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.若在上单调递减，则的最大值为1B.当时，C.当时，D.存在直线，使得与的图象有4个交点【答案】BCD【解析】，由，解得，的最大值为，故A不正确；当时，，即.设，则，在处取得最小值，故B正确；当时，，即.由B选项的过程知，在时，，在上单调递减，，故C正确；画出的图象如图，可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确，故选：BCD.11.已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（）A. B.点是的一个顶点C. D.【答案】ACD【解析】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时，过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点，则，，故A正确；由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为，如图2，它与轴夹角的正切值，解得或（舍），，由A选项可知，，故C正确；顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于，，故B不正确，D正确.图1图2故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则_____.【答案】2【解析】由抛物线的定义得，解得或（舍），故.故答案为：213.已知数列中，，，，则的前项和_____.【答案】【解析】由，得，是首项为，公差为1的等差数列，，，，为等差数列，.故答案为：14.已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为_____.【答案】【解析】当，中两元素之差绝对值均为1时，的个数为；当，中两元素之差的绝对值均为2时，的个数为；当，中两元素之差的绝对值均为3时，的个数为；当，中两元素之差的绝对值均为4时，的个数为；故满足条件的共有（个）；故其概率为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，是的中点，且.（1）求四棱柱的外接球的表面积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）取的中点，连接，，底面是正方形，且该四棱柱是直四棱柱，平面，又平面，，，，都在平面内，平面，又平面，，，，即，.四棱柱的外接球直径就是其体对角线，外接球半径，故四棱柱的外接球的表面积.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则令，得：，，而平面就是平面，其一个法向量是，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为.16.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程.解：（1）设，，.，设，则，解得：，，代入椭圆的方程，得，整理得，又，，，故椭圆的方程为.（2）由（1）知，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，代入椭圆方程中，整理得，，.，且，即，又，易知：，，，解得，直线的方程为或.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边上一点.（1）若，，求的值；（2）若，是角的平分线，且，求的值.解：（1）设，所以，，在中，由正弦定理得，所以，即，解得，即；（2）由余弦定理得，即，由，得，又因为，所以，所以，解得或（舍），故.18.已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直.（1）求a，b的值；（2）当时，求证：.解：（1）交点的横坐标为t，，即，又，将代入，得，，由，得，，若，则为无理数，，则，.（2）由（1）知，，要证成立，可试证在时成立，即证上成立.设，则，当时，单调递增；当时，单调递减，在处取得最大值，即在上恒成立，原不等式成立19.已知函数.（1）求函数图象的对称中心；（2）设方程的两个实数根为，，求证：为常数；（3）在