海南省2025届高三下学期学业水平诊断数学试题（三）（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1海南省2025届高三下学期学业水平诊断数学试题（三）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，可知抛物线的焦点在的正半轴上，又，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：B.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】，所以虚部为，故选：B3.已知集合.，中（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以或，所以，故选：D4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以.故选：A5.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.12 B.16 C.20 D.22【答案】D【解析】由，可得：，所以，又，故选：D6.在同一平面内，向量满足，则的最小值为（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】由题意，不妨设，则由得，则，所以，所以，所以当时，的最小值为3.故选：A7.若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2，所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得，故，所以的焦距为.故选：B8.已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（）A.B1C.4D.16【答案】D【解析】设的公比为q，由得，，故，又因为是递增的数列，所以，因为，所以取得最小值等价于函数取得最小值，求导得，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得最小值，此时.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】对于A，由函数单调递增，可知当，正确；对于B，取，可得，错误；对于C，取，显然不成立，错误；对于D，等价于，由指数函数单调递增可知：当，，所以成立，正确；故选：AD10.须弥座是一种古建筑的基座形式，又名“金刚座”，通常用于宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座部分，由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值.如图所示，某古建筑的须弥座最下层为正六棱台形状，该正六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为，则（）A.该正六棱台的高为B.该正六棱台的侧面与下底面的夹角为C.该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为D.该正六棱台的体积为【答案】BCD【解析】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，对于A，由已知可得每个侧面等腰梯形的面积为，所以梯形的高为，由此可得该正六棱台的高为，错误；对于B，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧面与下底面的夹角为，因为在直角梯形中，，，所以，易知为锐角，所以，正确；对于C，由正棱台的性质及二面角的概念可知，侧棱与下底面所成角为，在直角梯形中，，得，所以，正确；对于D，该棱台上底面面积，下底面面积，故棱台的体积为，正确.故选：BCD11.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（）A. B.是奇函数C. D.若，则【答案】ABD【解析】对于A，令可得：，所以，正确；对于B，令，可得：，令可得：，即，所以，即是奇函数，正确；对于C：令，可得，由B可得：，所以，C错误；对于D，令，可得：，所以所以，，,累加可得：所以，化简可得：，当时，代入可得满足，所以，则，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若（为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为__________．【答案】24【解析】令，由题意可得且，解得：，由通项公式可知：展开式中的常数项为.故答案为：2413.已知函数在上的最小值为，则的最小值为__________．【答案】【解析】由，可得：，令由题意可知：在可取到，结合余弦函数的性质可知需满足：，解得，所以的最小值为，故答案为：14.某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或连续答错的情况，就继续答题．已知小明答对每道题的概率都为，则小明获得奖品的概率为__________．【答案】【解析】设表示当前已答对最后一题的情况下获得奖品的概率；表示当前已答错最后一题的情况下获得奖品的概率；由题意可得：，解得：，，所以小明获得奖品的概率为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角所对的边分别为，已知．（1）求；（2）若，求外接圆半径的最小值．解：（1）由正弦定理及可得，，因为，所以，所以，因为，所以；（2）由题意得三角形外接圆的半径，要使外接圆的半径最小，只需最小，又因为，则由余弦定理得，当且仅当时取等号，此时，所以，即外接圆半径的最小值为.16.如图，将等腰直角三角形沿斜边上的中线翻折，得到四面体．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由为等腰直角三角形斜边上的中线，可得：，也即，又为平面内两条相交直线，所以平面；（2）由，可得，所以，所以，因为平面，以为坐标原点，以为轴和轴，过在平面作的垂线为轴建系，易知，则设平面的法向量为，则，即，令，可得：，所以，易知平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为；17.已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于两点，且当轴时，．（1）求的方程；（2）若点都在的左支上，且以为直径的圆与轴相切，求的斜率．解：（1）因为当轴时，，所以点在曲线C上，所以，又的焦距为，所以，所以，解得（负根舍去），所以，所以的方程为；（2）由题知，直线l的斜率一定存在，设直线的方程为，，联立，消并整理得，因为直线与的左支交于两点，所以，解得，所以，且，因为以为直径的圆与轴相切，所以，所以，所以，结合，所以，解得，即的斜率为.18.已知函数．（1）若曲线在点处的切线平行于直线．求；（2）若且函数只有一个极值点.求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．解：（1）由题意，得，则，由题意，解得；（2）当时，，，令，则，当时，，则在上单调的递增，所以函数不存在极值；当时，令即，得，令，则恒成立，则在上单调递增，又，，所以存在唯一的，使得，当时，，即，所以函数单调递减，当时，，即，所以函数单调递增，所以仅在处取到极小值，符合题意.综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为.（3）由，参变分离得，设，则，因为，所以，令，因为，所以，设，则，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，即的最小值为0，即，所以，即，故实数的取值范围为.19.在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球．则试验成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判定环节：判定时，放回两个黑球取出一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功．若试验成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个黑球，个白球．（1）求第1轮试验成功的概率；（2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；（3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：．参考数据：．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．解：（1）第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个