广东省惠州市惠城区五校2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省惠州市惠城区五校2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设平面向量，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由有.故选：D.2.若复数满足，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】由有.故选：A.3.已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由正弦定理可得，故.故选：C.4.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底.故选：C.5.在中，若，则此三角形（）A.无解 B.有两解C.有一解 D.解的个数不确定【答案】B【解析】因为，，所以，因为，所以，所以满足的有两个，所以此三角形有两解.故选：B.6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，，所以...①，...②，由①+②得：，即.故选：B.7.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设为向量，的夹角，因为，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B.8.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】由托勒密定理，得．因为，所以．设圆的半径为，由正弦定理，得．又，所以．因为，所以，因为，所以，所以，所以，则，故．故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论中错误的为（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.对任意向量，是一个单位向量D.零向量没有方向【答案】ACD【解析】对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1，方向任意，故A错误；对于B：由相反向量的定义可知向量与向量的长度相等，故B正确；对于C：当向量时，不满足，故C错误；对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误.故选：ACD.10.已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为，，对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，则，故C正确；对于D：，即，故D错误.故选：AC.11.在中，，则（）A. B.的面积为8C. D.内切圆半径是【答案】ABD【解析】由，所以，由余弦定理有：，所以，故A正确；由，所以，故B正确；，故C错误；设的内切圆半径为，则有，即，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数为纯虚数，则实数的值为_____________．【答案】【解析】由，所以，因为复数为纯虚数，所以，即.13.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.【答案】【解析】解法1：因为，所以，又，所以，因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又，所以，所以，又，所以，解得：，所以.14.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m．【答案】【解析】依题意，中，，，即，解得.在中，，即.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐标；（2）若向量与向量的夹角为120°，求．解：（1）由，设，∴，∵，∴，解得或，所以或．（2）∵，，，∴，∴，∴．16.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）若，，求的值：（2）若，判断的形状．解：（1）由正弦定理，故，再由余弦定理得，，从而.（2）因为，所以由余弦定理得，结合得，进而，所以是等边三角形．17.已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．（1）若，求，；（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．解：（1）由题意可知，所以．，所以．又，所以所以所以，．（2）由已知可得，，，所以，又，所以，解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，可得，，，可得．18.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因为在菱形中，.故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.19.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且.（1）求∠PAQ的大小；（2）求面积的最小值；（3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．解：（1）记，，则．（1）解法一：∵，