高一数学新人教版(A版) 必修第1册：正弦函数、余弦函数的性质应用-教学设计

教学设计

课程基本信息

课例编号2020QJ10SXRA051学科数学年级高一学期第一学期

课题正弦函数、余弦函数的性质应用

书名：普通高中教科书数学必修第一册

教科书

出版社：人民教育出版社A版出版日期：2019年6月

教学人员

姓名单位

授课教师赵丽艳北京市广渠门中学教育集团

指导教师李颖北京市东城区教师研修中心

教学目标

教学目标：

1.利用正弦函数和余弦函数的图象及性质解决相关的问题；

2.在利用正弦函数和余弦函数的图象及性质解决相关问题的过程中体会换元的方法;

3.通过解决相关应用问题，提升代数推理的能力，培养数学运算和数学推理的素养.

教学重点：正弦函数和余弦函数的性质的应用.

教学难点：理解正弦函数和余弦函数的性质.

教学过程

时间教学环节主要师生活动

5前面我们学习了正弦函数，余弦函数的图象及性质，具体研究了

分引入函数的周期性、单调性、最值，本节课我们将利用正余弦函数的图象

钟及性质解决相关的应用问题.

例1求下列函数的周期：

(1)y3sinx,xR；（2）ycos2x,xR；

1

（3）y2sin（x）,xR.

26

15（一）

解：（1）xR，有

分例题

钟

3sinx+2=3sinx.

由周期函数的定义可知，原函数的周期为2.

（2）令z=2x，由xR得zR，且ycosz的周期为2，

即

cos(z+2)=cosz，

于是cos(2x+2)=cos2x，

所以cos2(x+)=cos2x，xR.

由周期函数的定义可知，原函数的周期为.

1

（3）令z=x，由xR得zR，且y2sinz的周期为

26

2，即

2sin(z+2)=2sinz，

11

于是2sin(x+2)=2sin(x)，

2626

11

所以2sin[(x+4)]=2sin(x).

2626

由周期函数的定义可知，原函数的周期为4.

追问：解答完成之后思考，求解的依据是什么？据此求解的步骤

是什么？这些函数的周期与解析式中哪些量有关？

师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何

规范地表达，这是本例的难点所在，教师要基于学生课堂上的生成，

给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解.对于周期

问题,求解的步骤如下：

第一步，先用换元法转换.比如对于“（2）ycos2x,xR”，

令2x=t，所以yf(x)cos2xcost；

第二步，利用已知三角函数的周期找关系.有co（s2+t）cost，

代入可得co（s2+2x）cos2x；

第三步，根据定义变形.变形可得cos（2+x）cos2x，于是就

有f(x+)f(x)；

第四步，确定结论.根据定义可知其周期为π.

周期与自变量的系数有关.仿照上述分析过程可得函数

2

yAsin(x)的周期为T.

一般地，如果函数yf(x)的周期是T，那么函数yf(x)的

T

周期是.

设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成

求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数yAsin(x)的周期，

为后续学习做准备.

例2下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、

最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.

（1）ycosx1,xR;（2）y3sin2x,xR.

解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.

（1）使函数ycosx1,xR取得最大值的x的集合，就是

使函数ycosx取得最大值的x的集合

{x|x2k,kZ}；

使函数ycosx1,xR取得最小值的x的集合，就是使函数

ycosx,xR取得最小值的x的集合

{x|x(2k+1),kZ}.

函数ycosx1,xR的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.

（2）令z2x，使函数y3sinz,zR取得最大值的z的集

合，就是使ysinz,zR取得最小值的z的集合

{z|z2k,kZ}.

2

由2xz2k,得xk.所以，使函数

24

y3sin2x,xR，取得最大值的x的集合是

{x|xk,kZ}.

4

同理，使函数y3sin2x,xR取得最小值的x的集合是

{x|xk,kZ}.

4

函数y3sin2x,xR的最大值是3，最小值是-3.

师生活动：学生先独立完成，然后展示交流解题思路和结果，

学生点明换元法及其重要作用.本例中，对于（1），因为1是确定值，

因此问题转化为求ycosx的最值；对于（2）令2x=t，转化为求

y3sint的最值.

设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角

函数问题中的作用.

例3不通过求值，比较下列各组数的大小：

17

（1）sin（-）与sin（-）；（2）co（s-）与co（s-）.

181054

解：（1）因为-<--0,

21018

正弦函数ysinx在区间[-,0]上单调递增，所以

2

sin(-)sin(-).

1810

（2）cos(-)=cos=cos(4+)=cos，

5555

1717

cos(-)=cos=cos(4+)=cos.

4444

3

因为0<,且函数ycosx在区间[0，]上单调递

45

3

减，所以coscos,

45

即

17

cos(-)cos(-).

45

师生活动：学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1），

可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，

使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解.

设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题

1

例4求函数ysin(x+)，x[2，2的单调递增区间.

23

1

分析：令zx+，x[2，2，当自变量x的值增大时，

23

z的值也随之增大，因此若函数ysinz在某个区间上单调递增，则

1

函数ysin(x+)在相应的区间上也一定单调递增.

23

124

解：令zx+，x[2，2，则z[，.

2333

24

因为ysinz，z[，的单调递增区间是[，，

3322

1

且由x+，

2232

5

得x.

33

15

所以，函数ysin(x+)的单调增区间为[，.

2333