高考数学复习专题四数列推理与证明第1讲等差数列与等比数列

第1讲等差数列与等比数列专题四数列、推理与证实1/43热点分类突破真题押题精练2/43Ⅰ热点分类突破3/43热点一等差数列、等比数列运算1.通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2.求和公式4/433.性质若m＋n＝p＋q，在等差数列中am＋an＝ap＋aq；在等比数列中am·an＝ap·aq.5/43答案解析√6/43解析由题设可得log2a9＋log2a2009＝2，即b9＋b2009＝2，由等差数列通项性质，可得b9＋b2009＝b1＋b2017＝2，7/43答案解析解析因为a3＋a5＋a7＝a3＋a3q2＋a3q4＝6(q4＋q2＋1)＝78，得q4＋q2－12＝0，得q2＝3或q2＝－4(舍去)，则a5＝a3q2＝6×3＝18，故选B.思维升华(2)(届四川省成城市诊疗性检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6,a3＋a5＋a7＝78，则a5等于A.12 B.18 C.24 D.36√8/43思维升华在进行等差(比)数列项与和运算时，若条件和结论间联络不显著，则均可化成关于a1和d(q)方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以降低计算量.9/43答案解析跟踪演练1

(1)(·河北省曲周县第一中学模拟)设等差数列{an}前n项和为Sn，若S4＝－4，S6＝6，则S5等于A.0 B.－2 C.4 D.1√10/43答案解析ln211/43热点二等差数列、等比数列判定与证实数列{an}是等差数列或等比数列证实方法(1)证实数列{an}是等差数列两种基本方法：①利用定义，证实an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用等差中项，即证实2an＝an－1＋an＋1(n≥2).12/43(2)证实{an}是等比数列两种基本方法13/43例2

(届东北三省三校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n.(1)证实：{an－n}为等比数列；证实

∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，又a1－1＝2，∴{an－n}是以2为首项，2为公比等比数列.证实思维升华14/43思维升华判断一个数列是等差(比)数列，也能够利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证实方法.15/43解答思维升华16/43解由(1)知an－n＝(a1－1)·2n－1＝2n，∵bn＋1＝bn＋an－n，∴bn＋1－bn＝2n，当n＝1时，b1＝2，∴bn＝2n，17/4318/43跟踪演练2

(届吉林省长白山市模拟)在数列{an}中，设f(n)＝an，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，且a1＝1.证实证实由已知得an＋1＝2an＋2n，∴bn＋1－bn＝1，又a1＝1，∴b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1等差数列.19/43解答(2)求数列{an}前n项和Sn.解由(1)知，bn＝

＝n，∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2，得2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.20/43热点三等差数列、等比数列综合问题处理等差数列、等比数列综合问题，要从两个数列特征入手，理清它们关系；数列与不等式、函数、方程交汇问题，能够结合数列单调性、最值求解.21/43例3

已知等差数列{an}公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}通项公式an与前n项和Sn；解由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，解答22/43(2)将数列{an}前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来次序恰为等比数列{bn}前3项，记{bn}前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ取值范围.解答思维升华23/43解由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列{bn}公比为q，∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8.24/43故(Sn)max＝S4＝S5＝10，若存在m∈N*，使对任意n∈N*总有Sn<Tm＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ取值范围为(2，＋∞).25/43思维升华(1)等差数列与等比数列交汇问题，惯用“基本量法”求解，但有时灵活地利用性质，可使运算简便.(2)数列项或前n项和能够看作关于n函数，然后利用函数性质求解数列问题.(3)数列中恒成立问题能够经过分离参数，经过求数列值域求解.26/43跟踪演练3

(·北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}通项公式；解设等差数列{an}公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.解答27/43解答(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解设等比数列{bn}公比为q，所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.28/43Ⅱ真题押题精练29/43真题体验1.(·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}公差为_____.4答案解析1234解析设{an}公差为d，解得d＝4.30/432.(·浙江改编)已知等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”______条件.充要答案解析123431/43解析方法一

∵数列{an}是公差为d等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”充要条件.123432/43方法二

∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”充要条件.123433/433.(·北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则

＝_____.1答案解析1234解析设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，则由a4＝a1＋3d，∴q＝－2.34/4332解析设{an}首项为a1，公比为q，1234答案解析35/43押题预测答案解析押题依据等差数列性质和前n项和是数列最基本知识点，也是高考热点，能够考查学生灵活变换能力.12341.设等差数列{an}前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0最大自然数n值为A.6 B.7 C.12 D.13√押题依据36/43123解析∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0最大自然数n值为12.437/432.(·安庆模拟)等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5等差中项，则{an}公比等于A.3 B.2或3C.2 D.6答案解析押题依据等差数列、等比数列综合问题可反应知识利用综合性和灵活性，是高考出题重点.123√4押题依据38/43解析设公比为q,5a4为12a3和2a5等差中项，可得10a4＝12a3＋2a5,10a3q＝12a3＋2a3q2，得10q＝12＋2q2，解得q＝2或3.又a3－3a2＝2，所以有a2q－3a2＝2，所以有q＝2，故选C.123439/43答案解析押题依据本题在数列、方程、不等式交汇处命题，综合考查学生应用数学能力，是高考命题方向.1234√押题依据40/43解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，123441/43押题依据先定义一个新数列，然后要求依据定义条件推断这个新数列一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列问题是近年来高考中逐步兴起一类问题，这类问题普通形式新奇，难度不大，常给人耳目一新感觉.4.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上函数f(x)，假如对于任意给定等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上以下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝