高考数学复习第十章统计与统计案例第2节用样本估计总体理

第2节用样本预计总体1/42最新考纲1.了解分布意义和作用，能依据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自特点；2.了解样本数据标准差意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理解释；4.会用样本频率分布预计总体分布，会用样本基本数字特征预计总体基本数字特征，了解用样本预计总体思想；5.会用随机抽样基本方法和样本预计总体思想处理一些简单实际问题.2/421.频率分布直方图 (1)频率分布表画法：

第一步：求______，决定组数和组距，组距＝_______；

第二步：______，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最终一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.知

识

梳

理极差分组3/42(2)频率分布直方图：反应样本频率分布直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示_______，每个小矩形面积表示样本落在该组内______.频率4/422.茎叶图

统计中一个被用来表示数据图叫做茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎旁边生长出来数.5/423.样本数字特征 (1)众数：在一组数据中，出现次数_______数据叫做这组数据众数. (2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处于____________位置一个数据(或最中间两个数据__________)叫做这组数据中位数

在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积__________.最多最中间平均数相等6/427/428/421.思索辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平均数、众数与中位数从不一样角度描述了一组数据集中趋势.(

) (2)一组数据方差越大，说明这组数据越集中.(

) (3)频率分布直方图中，小矩形面积越大，表示样本数据落在该区间频率越大.(

) (4)茎叶图普通左侧叶按从大到小次序写，右侧叶按从小到大次序写，相同数据能够只记一次.(

)诊

断

自

测9/42解析

(1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反应了数据集中趋势.(2)错误.方差越大，这组数据越离散.答案

(1)√

(2)×

(3)√

(4)×10/422.(教材习题改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛得分茎叶图如图所表示，则这组数据中位数和平均数分别是(

)A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和9211/42答案A12/423.(·全国Ⅰ卷)为评定一个农作物种植效果，选了n块地作试验田.这n块地亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出指标中能够用来评定这种农作物亩产量稳定程度是(

) A.x1，x2，…，xn平均数 B.x1，x2，…，xn标准差 C.x1，x2，…，xn最大值 D.x1，x2，…，xn中位数

解析刻画评定这种农作物亩产量稳定程度指标是标准差.

答案B13/424.(·烟台质检)某雷达测速区要求：凡车速大于或等于70km/h汽车视为“超速”，并将受处处罚.如图是某路段一个检测点对200辆汽车车速进行检测后所作频率分布直方图，则从图中能够看出被处罚汽车大约有(

)A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆解析从频率分布直方图知，车速大于或等于70km/h频率为0.02×10＝0.2.因为样本容量为200，故“超速”被罚汽车约有200×0.2＝40(辆).答案

B14/425.(·江苏卷)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据方差是________.答案

0.115/42考点一茎叶图及其应用【例1】(1)(·山东卷)如图所表示茎叶图统计了甲、乙两组各5名工人某日产量数据(单位：件).若这两组数据中位数相等，且平均值也相等，则x和y值分别为(

) A.3，5 B.5，5 C.3，7 D.5，716/42(2)(·济南模拟)中国诗词大会播出引发了全民读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据茎叶图如图所表示.若要求得分大于85分学生得到“诗词达人”称号，小于85分且大于70分学生得到“诗词能手”称号，其它学生得到“诗词兴趣者”称号，依据该次比赛成就按照称号不一样进行分层抽样抽选10名学生，则抽选学生中取得“诗词达人”称号人数为(

)17/42A.2 B.4 C.5 D.618/42解析(1)由茎叶图，可得甲组数据中位数为65，从而乙组数据中位数也是65，所以y＝5.由乙组数据59，61，67，65，78，可得乙组数据平均值为66，故甲组数据平均值也为66，答案(1)A

(2)A19/42规律方法1.茎叶图三个关注点(1)“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置数字位数普通不需要统一.(2)重复出现数据要重复统计，不能遗漏.(3)给定两组数据茎叶图，预计数字特征，茎上数字由小到大排列，普通“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.2.利用茎叶图解题关键是抓住“叶”分布特征，准确从中提炼信息.20/42【训练1】(1)(·广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩茎叶图如图所表示，其中甲组学生成绩平均数是88，乙组学生成绩中位数是89，则m＋n值是(

)A.10 B.11 C.12 D.1321/42(2)(·沈阳模拟)空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量情况指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.从某地一环境保护人士某年AQI统计数据中，随机抽取10个，用茎叶图统计以下.依据该统计数据，预计此地该年AQI大于100天数约为________(该年为365天).22/42解析

(1)∵甲组学生成绩平均数是88，∴由茎叶图可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，∵乙组学生成绩中位数是89，∴n＝9，∴m＋n＝12.答案

(1)C

(2)14623/42考点二频率分布直方图(易错警示)【例2】

(·北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，依据男女学生人数百分比，使用分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，统计他们分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到以下频率分布直方图：24/42(1)从总体400名学生中随机抽取一人，预计其分数小于70概率；(2)已知样本中分数小于40学生有5人，试预计总体中分数在区间[40，50)内人数；(3)已知样本中有二分之一男生分数大于70，且样本中分数大于70男女生人数相等.试预计总体中男生和女生人数百分比.25/42解

(1)依据频率分布直方图可知，样本中分数大于70频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70频率为1－0.6＝0.4.所以从总体400名学生中随机抽取一人，其分数小于70概率预计为0.4.(2)依据题意，样本中分数大于50频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40，50)内人数为100－100×0.9－5＝5.26/4227/4228/42【训练2】

某校届高三文(1)班在一次数学测验中，全班N名学生数学成绩频率分布直方图以下，已知分数在110～120学生有14人.(1)求总人数N和分数在120～125人数n；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩众数和中位数各是多少？29/4230/42设中位数为a，∵0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50，∴a＝110.∴众数和中位数分别是107.5，110.31/42考点三样本数字特征【例3】(1)(·济南一中质检)年2月20日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车无偿骑”活动.为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走单车数量，绘制了如图所表示茎叶图，则该组数据方差为(

) A.9 B.4 C.3 D.232/42(2)(·四川卷)我国是世界上严重缺水国家，某市为了制订合理节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过抽样，取得了某年100位居民每人月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所表示频率分布直方图.33/42①求直方图中a值；②设该市有30万居民，预计全市居民中月均用水量不低于3吨人数，说明理由；③预计居民月均用水量中位数.34/42答案

B35/42(2)解

①由频率分布直方图可知：月均用水量在[0，0.5)内频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]等组频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.②由①知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本频率分布，能够预计30万居民中月均用水量不低于3吨人数为300000×0.12＝36000.36/42③设中位数为x吨.因为前5组频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.又前4组频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可预计居民月均用水量中位数为2.04吨.37/42规律方法1.平均数反应了数据取值平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据离散程度越小，越稳定.2.用样本预计总体就是利用样本数字特征来描述总体数字特征.38/42【训练3】

(·北京东城质检)某班男女生各10名同学最近一周平均天天锻炼时间