高考数学总复习8.6热点专题-立体几何中的热点问题

§8.6热点专题——立体几何中热点问题热点一空间几何体表面积和体积空间几何体表面积和体积是每年高考必考内容，高考对它考查形式由原来简单套用公式求解，逐步变为三视图与柱、锥、台、球综合问题，题型现有选择、填空题，也与空间位置关系证实相结合出现在解答题中．1/42【例1】

(1)(·邢台模拟)一个几何体三视图如图所表示，则该几何体体积是(

)2/42A．64

B．72C．80D．112【答案】

B3/42(2)(·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD.4/425/426/427/42【方法规律】

求锥体体积时，等体积转化是惯用方法，转化标准是其高易求，底面积在已知几何体某一面上．求不规则几何体体积，惯用分割或补形思想，将不规则几何体转化为规则几何体方便于求解．8/42变式训练1．(·辽宁大连双基检测)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为3菱形，∠ABC＝60°.PA⊥平面ABCD，且PA＝3.E为PD中点，F在棱PA上，且AF＝1.9/42(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求三棱锥P­BDF体积．【解析】

(1)证实

取PF中点G，连接EG，CG.连接AC交BD于O，连接FO.由题意可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO∥GC.因为G为PF中点，E为PD中点，∴GE∥FD.又GE∩GC＝G，GE，GC⊂平面GEC，FO∩FD＝F，FO，FD⊂平面FOD，∴平面GEC∥平面FOD.∵CE⊂平面GEC，∴CE∥平面BDF.10/4211/4212/42热点二平行关系与垂直关系综合问题空间中直线与平面位置关系是研究立体几何关键问题，高考一直把直线与平面平行、垂直关系作为考查重点，尤其是以多面体(主要是柱体和锥体)为载体线面位置关系论证是每年高考必考内容．13/42【例2】

如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC中点．14/42(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E­ABC体积．【解析】

(1)证实

在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.15/4216/4217/42【方法规律】

(1)线面、面面位置关系证实问题实质是线线、线面、面面位置关系相互转化，交替使用平行、垂直判定定理和性质定理进行证实．(2)线线位置关系是基础，解题时注意①平面几何中位置关系转化，如：中位线、等腰三角形中线、平行线分线段成百分比等；②数量关系与位置关系转化，如经过计算得到线线垂直等．18/42变式训练2．(·浙江)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC射影为BC中点，D是B1C1中点．19/42(1)证实：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成角正弦值．【解析】

(1)证实

设E为BC中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.20/42又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.21/4222/42热点三平面图形翻折问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为平面图形翻折问题，常与空间中平行、垂直关系以及空间几何体体积求法相综合命题．23/4224/4225/4226/42【方法规律】

平面图形翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系改变情况．普通地，翻折后还在同一个平面上性质不发生改变，不在同一个平面上性质发生改变．变式训练3．如图1，在边长为4菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2所表示．27/4228/42(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P­BDEF体积．【解析】

(1)证实

因为菱形ABCD对角线相互垂直，所以BD⊥AC，所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD.29/4230/4231/42热点四线面位置关系中存在性问题这类探索性问题是近几年在高考中常出现问题，主要有两类问题：(1)探索条件，即探索能使结论成立条件是什么；(2)探索结论，即在给定条件下，命题结论是什么．【例4】

在如图所表示多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．32/42(1)若AC⊥BC，证实：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证实你结论．【解析】

(1)证实

因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.33/42又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1交点．由已知，O为AC1中点．34/4235/42【方法规律】

对于线面关系中存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足条件，若满足则必定假设，若得出矛盾结论则否定假设．36/42变式训练4．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别是棱BC，CD中点，G为棱CC′上动点．37/4238/42【解析】

(1)证实

如图，连接BD.39/42因为AA′⊥平面ABCD，