高考数学复习第五章数列第7讲数学归纳法配套理

第7讲数学归纳法1/32考纲要求考点分布考情风向标1.了解数学归纳法原理.2.能用数学归纳法证实一些简单数学命题年新课标考查利用数学归纳法证实不等式；年纲领考查利用数学归纳法证实不等式；年广东考查利用数学归纳法证实等式数学归纳法证实命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；归纳递推是证实难点，应看准“目标”进行变形；数学归纳法也是文理科高考一个主要区分，普通在数列推理与证实过程中表示2/32

1.利用数学归纳法证实命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可. 2.用数学归纳法能够证实许多与自然数相关数学命题，其中包含恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等.3/324/32

解析：观察数列通项公式，可得分母n，n＋1，n＋2，…，n2组成以n为首项，以1为公差等差数列，项数为n2－n＋1.故选D.答案：D5/326/32答案：C7/323.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有对角线数f(n＋1)为()

B.f(n)＋nD.f(n)＋n－2A.f(n)＋n＋1C.f(n)＋n－1C8/32上述证法()A.过程全都正确C.归纳假设不正确B.n＝1验得不正确D.从n＝k到n＝k＋1推理不正确故当n＝k＋1时，不等式成立.9/32

解析：上述证实过程中，在由n＝k改变到n＝k＋1时，不等式证实使用是放缩法而没有使用归纳假设.故选D.答案：D10/32考点1用数学归纳法证实恒等式命题11/3212/32所以当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.13/32

【规律方法】(1)用数学归纳法证实等式问题，要“先看项”，搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边改变(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证实过程，不利用归纳假设证实，就不是数学归纳法.14/32【互动探究】15/32(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有所以当n＝k＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.16/32考点2用数学归纳法证实不等式命题

例2：(2016年山东潍坊模拟)等比数列{an}前n项和为Sn.已知对任意n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)图象上. (1)求r值；

(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*).证实：对任意17/32

(1)解：由题意，

Sn＝bn＋r，r＝－1.当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1).因为b>0，且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比等比数列.18/3219/3220/32【规律方法】应用数学归纳法证实不等式应注意问题：①当碰到与正整数n相关不等式证实时，应用其它方法不轻易证，则可考虑应用数学归纳法.

②用数学归纳法证实不等式关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证实时用上归纳假设后，可采取分析法、综正当、求差(求商)比较法、放缩法等证实方法.21/32【互动探究】

2.(年纲领)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}以下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))直线PQn与x轴交点横坐标.(1)证实：2≤xn<xn＋1<3；(2)求数列{xn}通项公式.22/3223/3224/32即2≤xk＋1<3也成立.综上可知2≤xn<3对任意正整数恒成立.下面证实xn<xn＋1：由2≤xn<3⇒1≤xn－1<2⇒0<－(xn－1)2＋4≤3，故有xn＋1－xn>0，即xn<xn＋1.综上可知2≤xn<xn＋1<3恒成立.25/3226/3227/32考点3用数学归纳法证实整除性命题

例3：试证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.

证实：方法一，(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64， 命题显然成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.28/32∵32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9×8k＋9×9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴当n＝k＋1时命题也成立.依据(1)(2)可知，对任意n∈N*，命题都成立.29/32方法二，(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入f(k＋1)中，得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，故当n＝k＋1时命题成立.依据(1)(2)可知，对任意n∈N*，命题都成立.30/32【互动探究】3.求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除.证实：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命题成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，则当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k31/32＝x2x2k