高考数学总复习6.2等差数列及其前n项和

§6.2等差数列及其前n项和[考纲要求]

1.了解等差数列概念.2.掌握等差数列通项公式与前n项和公式.3.能在详细问题情境中识别数列等差关系，并能用相关知识处理对应问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数关系．1/481．等差数列相关概念(1)等差数列定义普通地，假如一个数列从第___项起，每一项与它前一项差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，通惯用字母__表示，定义表示式为____________________________________或_________________________．2同一个常数dan－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)2/483/483．等差数列惯用性质(1)通项公式推广：an＝am＋_________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为_____．(4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为d，则{pan＋qbn}也是等差数列．(n－m)dak＋al＝am＋an2d4/48(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为____等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)S2n－1＝(2n－1)an.md5/48【思索辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它前一项差都是常数，则这个数列是等差数列．(

)(2)数列{an}为等差数列充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)6/48(3)等差数列{an}单调性是由公差d决定．(

)(4)数列{an}为等差数列充要条件是其通项公式为n一次函数．(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(

)(6)已知数列{an}通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√7/481．(·重庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(

)A．－1

B．0C．1D．6【解析】

由等差数列性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.【答案】

B8/482．(·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项和为27，a10＝8，则a100＝(

)A．100B．99C．98D．97【解析】

设等差数列{an}公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.【答案】

C9/483．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(

)A．58B．88C．143D．176【答案】

B10/484．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于(

)A．14B．21C．28D．35【解析】

∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.【答案】

C11/485．已知数列{an}对任意p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋qq，且a2＝－6，那么a10等于(

)A．－165B．－33C．－30D．－21【解析】

由ap＋q＝ap＋aq，得an＋1＝an＋a1，∴数列{an}成等差数列，且公差d＝a1.∴a2＝a1＋d＝－6，得a1＝d＝－3，a10＝－3＋9×(－3)＝－30.【答案】

C12/48题型一等差数列基本量运算【例1】

(1)(·浙江温州五校上学期开学测试)已知等差数列{an}中第2项为606，前4项和S4为3834，则该数列第4项为(

)A．2004

B．3005C．2424D．201613/4814/48【答案】

(1)D

(2)A15/48【方法规律】

(1)等差数列运算问题普通求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列通项公式及前n项和公式，共包括五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，表达了方程思想．16/48跟踪训练1(1)(·课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于(

)A．5B．7C．9D．11(2)(·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9值是________．17/48【答案】

(1)A

(2)2018/4819/4820/4821/4822/48【方法规律】

等差数列四个判定方法(1)定义法：证实对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证实对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，依据定义得出数列{an}为等差数列．23/48(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，依据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，依据Sn，an关系，得出an，再使用定义法证实数列{an}为等差数列．24/48跟踪训练2

(·云南第一次统一检测)已知等比数列{an}前n项和是Sn，S18∶S9＝7∶8.(1)求证：S3，S9，S6成等差数列；(2)a7与a10等差中项是否是数列{an}中项？假如是，是{an}中第几项？假如不是，请说明理由．25/4826/4827/48题型三等差数列性质及应用命题点1等差数列性质【例3】

(1)(·洛阳统考)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}前n项和，则S11＝(

)A．18

B．99C．198D．297(2)(·常德一模)已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________．28/4829/48【答案】

(1)B

(2)2030/48命题点2等差数列前n项和最值【例4】

在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它最大值．31/4832/48∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.【引申探究】

例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其它条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值．33/4834/4835/4836/48跟踪训练3(1)等差数列{an}前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n值是(

)A．5

B．6C．7D．8(2)(·湖南株洲二中月考)已知Sn是等差数列{an}前n项和，且S6＞S7＞S5，给出以下五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{Sn}中最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|.其中正确命题个数是(

)A．5B．4C．3D．137/48(3)已知等差数列{an}首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn最大值为________．【解析】

(1)依题意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，选B.38/4839/48【答案】

(1)B

(2)C

(3)11040/48高频小考点6等差数列前n项和及其最值【典例】(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项和S10等于(

)A．45B．60C．75D．90(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________．41/48(3)等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}前n项和Sn最大值为(

)A．S4B．S5C．S6D．S7【思维点拨】

(1)求等差数列前n项和，能够经过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也能够利用等差数列性质：